是否有人可以向生物学家解释“概形”.

前言：约翰·泰特和我被《自然》杂志邀请写一篇格洛腾迪克的讣告。他是我心目中的英雄，是在我所有见过的人中最符合“天才”这一形容词的人。我第一次见到他是在他参与约翰，Shurik 以及我组织的“存在性定理”讨论班上。他对数学的热爱，对于世俗的鄙夷，他的率真以及他被约翰以及其他人认为的天真与我产生了共鸣。

所以约翰和我同意写下了如下的讣告。因为《自然》杂志的读者群体多少由非数学家组成，我们的困难在于怎么将格洛腾迪克的工作普及给这样的读者。显然，概形的概念在几乎所有他的工作中占据中心的位置，同时我们也想提到一些关于范畴和上同调的内容，所以产生了这样的作品：

亚历山大·格洛腾迪克

虽然数学在整个20世纪变得越来越抽象与一般化，但是亚历山大·格洛腾迪克是引导这一潮流的最伟大的人物。他独特的数学技巧消除了无用的猜测，并且将数学导入一个异常深刻的领域，使得最抽象的内在结构一一得到展现。然后，他如同魔术师一般，让一些老问题以最本质的方式得到直接的解决。他的数学能力与洞察力无与伦比。他花了很多时间将代数几何以及它与代数数论的联系进行了彻底的革命。他，被看作是20世纪最伟大的数学家之一。

格洛腾迪克在1928年3月28日生于柏林的一个无政府主义家庭——一个俄国犹太人父亲，亚历山大·夏皮罗，以及一个德国新教母亲汉卡·格罗滕迪克。格洛腾迪克有一个曲折的童年：他躲过了法国勒尚邦一个难民营的屠杀。他在战争年代的法国塞文中学产生了对数学的兴趣。成年后他居住在法国，但是一直处于无国籍状态（除了一个“难民护照”外）直到他生命结束。他最杰出的工作在1956-1970年于位于巴黎郊区的法国高等科学研究所（IHES）做出。他在1966年得到菲尔兹奖。

他的第一个数学成果受到洛朗·施瓦茨以及让·迪厄多内的启发：他提出了研究函数空间的重要方法，但是之后他却在代数几何上开拓了自己一片天空。代数几何是利用多项式环的代数性质研究一组多项式方程的解的领域，而其中一般研究的几何对象称为“簇”。在格洛腾迪克前的传统代数几何，考虑的主要就是一组复数系数的多项式的复数解。但是安德烈·韦伊和奥斯卡·扎里斯基已经有点意识到，研究任意域（有限域或代数数域）上的多项式组的解能得到更广阔的领域。

但是对于这样拓展的代数几何的基础却没有人能够给出，直到格洛腾迪克革命性的成果。他构造了一类几何结构以推广了“簇”的概念，他称之为“概形”。用最简单的语言来说，他将任意一个交换环（就是一个集合，其中定义了加法，减法和交换的乘法，就像整数集合，或者所有以x,y,z为变元系数为复数的多项式）赋予一个几何对象，称为环的谱(spectrum，简写为Spec)或看出一个“仿射概形”，然后将这些对象粘在一块成为一个概形。这个环就被看成仿射概形上的所有函数组成的集合。

为了说明这样的构造多么富有革命性，我们有如下的例子。一个环可以由域构造出来。比如说实数域加上一个varepsilon（满足varepsilon^2=0）.我们可以将varepsilon想象成这样：你的实验仪器可能允许你测量一个很小的数字（varepsilon=0.001），但是（varepsilon^2=0.000001）可能就太小而无法测量了，所以不妨就把它看成0。在这个环里的数字就是(a+b\cdot\varepsilon)其中a，b是实数。这个环对应的几何对象是一个无穷小的向量，一个点可以移动无穷小的距离，但是顶多到二阶无穷小。事实上，他将莱布尼茨的无穷小变成了可以进行计算的实际对象。最近一个类似的想法在物理的超弦中也被使用。为了将概形与数论联系起来，我们将环取做整数环。那么对应的谱在每一个素数上都有一个点，这些点上函数具有在有限域(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})上的值，以及一个古典意义上的点，使得函数取到有理数值，以及“变胖”的点，在闭包上取得其他值。这样的方法由数学界熟知，所有人都公认他发现了正确的代数几何框架。

格洛腾迪克在抽象化的路上又迈出一步，他利用“映射的网”——称为态射——从变量概形映到描述概形的函子上。而在代数几何中，许多函子并不能显然地看成概形。在科学中，这相当于多方面测量一个未知事物然后拼接到一块，甚至利用它与已知事物的交互来发现未知。他使用这样的方法构造新的概形，造出了一个新的对象称为“叠”，之后被迈克尔·阿廷完整地刻画。

他最著名的工作是他利用拓扑最重要的不变量：上同调对概形和簇的几何进行的研究。一个简单的例子是平面挖去原点。也即对于复坐标$(z,w)$来说，一个平面是四维的实空间再挖去一点，这样得到的对象拓扑上来说是三维球。阿廷了解格洛腾迪克的理念，并用此说明了怎么只使用代数就可以完美地定义球的三维上同调，这说明这个三维的球在代数中也存在！他们两人在著名的IHES讨论班上给出了“平展上同调”的概念。格洛腾迪克与他的合作者们利用这一方法继续研究韦伊几个深刻的猜想，并给出了“晶体上同调”以及上同调的“超理论”——被称为“动机”的理论。

1969年，由于不明的原因他离开了IHES（于此他做出了几乎所有他的重要工作），转而投入了他称为“生存”的生态和政治运动。他极度天真的灵魂（对于他做数学非常有用）让他认为他能够用这些运动改变世界。但是当他发现这个运动并没有什么成果，他回到数学界执教于蒙彼利埃大学。在此他构想出一个令人惊奇且深刻的代数与几何的联系，也即代数数的对称群（称为伽罗瓦群$\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$）和被称为“孩子的画”(dessin d'enfants)紧曲面上的图的对应关系。尽管他为此写下了上千页未发表的文字，他的研究项目只被法国国家科学研究中心给以微薄的资助。他控诉数学界已经完全腐化。在他生命的最后20年他与世隔绝，隐居在比利牛斯山下名为Lasserre的小村中。他孤独地生活在他自己的精神世界中，对自我进行解析。他在2014年11月13日去世。

作为一个朋友，格洛腾迪克是非常温和的。但是他童年的阴影使他成为一个复杂的人。他的洞察力和天真使得他能够以独特的视角重新建造20世纪的数学，这在今天也是不可思议的。格洛腾迪克关于概形，函子，上同调工作的魅力与有效性使得它们成为当下数学的基础。他后期工作的梦想仍然是对于他继承者的挑战。

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令人悲哀的是，这篇文章由于“对于读者太过技术性”而被拒绝。《自然》的编辑告诉我“高阶多项式”，“无穷小向量”和“复数空间”（甚至复数）都是他们的读者从来没有接触过的。我所处的数学世界与世界，甚至与科学的世界的鸿沟似乎大到不可思议。在我想象中，也许会有律师或者商人说他们不懂除了加减乘除以外的数学。但这是《自然》杂志！？《自然》杂志的读者群体属于“STEM”（= Science,Technology,Engineering Mathematics）。在一般的情况下，这些人都得学很多数学。这令我非常难过。

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12月28日添加：

自然杂志真的想发表一则关于格洛腾迪克的讣告，我们的文章只有在删除了一大堆东西后才被允许发布。这则讣告应该在1月15日的专栏上，而由于版权保护，我们无法发表在这里。最大的问题在于如何将数学界的世界与其他科学家甚至非科学人士的世界之间的分歧缩小。这是一个很严重的问题，我认为数学家可能需要花很大的功夫来架起这座沟通之桥。一个例子是Gower关于巴拿赫空间的工作，为此他获得了菲尔兹奖。我没有听说过有谁像他一样利用音乐的符号向公众解释傅立叶级数以及函数空间基的理论。

对于我们的讣告而言，我本来以为\mathbb{C}^2-(0,0)中的三维单位球对于所有的科学家可以解释清楚，这样就可以解释迈克 阿廷关于H^3_{et}(\mathbb{A}^2-(0,0))不为(0)的重大突破。“不行！”，《自然》杂志删除了这一块。我本以为“映射的网”(web of maps)可以是“可以被对象表示的函子”这一个概念的绝佳隐喻，并指出了要点。“不行！”，《自然》杂志切掉了这一句。我原以为“所有代数数的对称群”可以用来说明伽罗瓦群的定义。“不行！”《自然》杂志否决了。公正地说，他们想减少文章的长度但是又不想删去人物的生平。

我认为关于格洛腾迪克讣告至少要试图解释概形和提到上同调。而解释概形的最大的阻碍在于解释“环”。如果你没有上过“抽象代数”这门课，那么从何说起呢？所以这篇文章最后的草稿提到了三个例子——多项式（扔掉了可怕的“高阶”这一形容词），二元数以及有限域。我们提到了二元数的谱，利用“非常小”和“无穷小距离”来进行直白的解释。对于有限域来说，尽管约翰非常不适，但是我认为钟上的数字是一个很好的解释。虽然$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$并不是一个域，但是我们可以简单的介绍有限环：“9点钟过了7小时不是16点钟，而是4点钟”。之后我们定义“离散”的特征p的空间，与通常的特征0空间对应。其他我们还添加了“受到法国数学家让-皮埃尔·塞尔的影响”，用来纪念格洛腾迪克与塞尔的合作。

整件事情对我来说是一场妥协，我并不想由于不支持太多数学而指责《自然》杂志愚蠢。最大的问题在于数学家与世界其他人之间巨大而痛苦的鸿沟。我认为初中和高中的数学课程是这个鸿沟的主要原因。如果数学是以“与世界其他事物沟通”为目的而介绍，而不是单独作为一个学科；如果它作为计量金钱，测量世界，沟通物理化学和生物，优化决策和码代码为目的而介绍，相信有更少的学生会对数学失望。事实上，为什么不取消单独的高中数学课程，而将它在科学，人文乃至经济的课程中进行介绍？如果你仔细思考，我认为你会觉得这不是一个疯狂的想法。