如下不等式是大家都熟悉的:
\[\ln (1+x)<x,\forall x>0.\]
但能否灵活运用它就不好说了。其实，它的弱形式更好用：
\[\ln x<x,\forall x>0.\]
它的变形是
\[\ln x<\frac{x^\lambda}{\lambda},\forall x>0,\lambda>0.\]
例1 证明： 对任何$a>0$,$b>0$, 有$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^a x}{x^b}=0$.
证 取$\lambda =\frac{b}{2a}>0$, 则$\ln x<\frac{x^\lambda}{\lambda}=\frac{2a } {b}x^{\frac{b}{2a}}, \forall x>0 $, 故
\[\frac{\ln^a x}{x^b}<\left(\frac{2a}{b}\right)^a\frac{1}{x^{\frac{b}{2}}}\to 0(x\to +\infty).\]
例2 证明: 对任何$p>0$, 级数$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln ^pn}$发散.
证 取$\lambda=\frac{1}{2p}>0$, 则$\ln n<\frac{n^\lambda}{\lambda}=2pn^{\frac{1}{2p}},\forall n\geqslant 2$. 从而
\[\frac{1}{\ln^pn}>\left(\frac{1}{2p}\right)^p\frac{1}{\sqrt{n}},\forall n\geqslant 2.\]
故级数发散.
沪公网安备 31011702001868号）
