Young不等式的一个新的证明

设 $p>0,q>0，a>0,b>0$ 且 $1/p+1/q=1$ 有

\[ab\leq \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\]

证明：设

\[f(b)=\frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}-ab\]

则

\[f'(b)=b^{q-1}-a\]

故当 $b_{0}=a^{\frac{1}{q-1}}$ 时取得极值，且为极小值。此时 $f(b_{0})=0$. 证毕.