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【代数学(上)】【莫宗坚等著】【53页】【例4】Lorentz群

热度 5已有 986 次阅读2013-8-27 14:46

定义集合$G=\{u\in \mathbb{R}:|u|<c\}$,其中$c$为常数且$c>0$.
定义$G$上的二元运算$\oplus$如下:
\[\forall u,v\in G,u\oplus v = \frac{u+v}{1+uv/c^2}.\]
则$(G,\oplus)$为交换群.
作三点说明:
1. 运算的封闭性由以下不等式保证:
当$|x|,|y|<1$时,
\[\left|\frac{x+y}{1+xy}\right|<1.\]
2. $0$是$G$中的幺元.
3. 对任意的$u\in G$,$-u$是$u$在$G$中的逆元.
定义映射
\[f:G\to \mbox{SL}(2,\mathbb{R}),\quad u\mapsto
\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}
\left(\begin{matrix}1 & -u \\
\frac{-u}{c^2} & 1
\end{matrix}\right).\]
则
\[f(u\oplus v)=f(u)f(v),f(0)=I.\]
这表明映射$f$是$G$到$\mbox{SL}(2,\mathbb{R})$的群同态.因此$f(G)$是$\mbox{SL}(2,\mathbb{R})$的子群.
附上[代数学][上][莫宗坚等著][53页例4]的截图.