两个实对称矩阵可同时对角化当且仅当可交换的一个非矩阵方法证明 ...
热度 2已有 1282 次阅读2013-8-18 11:58
设$A$,$B$为$n$阶实对称阵.则存在正交阵$Q$,使得$Q^TAQ$与$Q^TBQ$为对角阵,当且仅当$AB=BA$.
证:记$E_{\lambda}(B)$是$B$的对应于特征值$\lambda$的特征子空间,任取$\varphi_1 \in E_{\lambda}(B)$,利用$AB=BA$ 易得$\forall m\in \mathbb{N},A^m\varphi_1 \in E_{\lambda}(B)$,这表明由$\varphi_1$生成的循环子空间$$C_A(\varphi_1)=\mbox{Span}(\varphi_1,A\varphi_1,A^2\varphi_1,\cdots )$$是$E_{\lambda}(B)$的子空间,若设$\dim C_A(\varphi_1)=k$,那么$\varphi_1,A\varphi_1,\cdots ,A^{k-1}\varphi_1$是$C_A(\varphi_1)$的一个基.往证,存在$q_1$是$A$的一个特征向量,使得$q_1\in C_A(\varphi_1)$.不妨设$A^k\varphi_1\neq 0$(否则取$q_1=A^{k-1}\varphi_1$即可),则存在不全为零的$k$个数$c_0,c_1,\cdots ,c_{k-1}$, 使得$$A^k\varphi_1+c_{k-1}A^{k-1}\varphi_1+\cdots +c_1A\varphi_1+c_0I=0.$$记$f(t)=t^k+c_{k-1}t^{k-1}+\cdots +c_1t+c_0$,对$f(t)$作因式分解$$f(t)=(t-\mu_1)(t-\mu_2)\cdots (t-\mu_k),$$ 那么$$f(A)\varphi_1=(A-\mu_1I)(A-\mu_2I)\cdots (A-\mu_kI)\varphi_1=(A-\mu_1I)q_1,$$其中$q_1=(A-\mu_2I)\cdots (A-\mu_kI)\varphi_1$,注意到$q_1\neq 0$(否则与$\varphi_1,A\varphi_1,\cdots ,A^{k-1}\varphi_1$线性无关相矛盾),这表明$\mu_1$是$A$ 的特征值,又$A$是实对称阵,因此$\mu_1\in \mathbb{R}$,类似地,可以得出$\mu_2,\cdots ,\mu_k\in \mathbb{R}$,所以$q_1\in \mathbb{R}^n$即为所求.故$q_1$是$A$ 与$B$的一个公共特征向量.
选择$B$的另一个特征值$\varphi_2$,且满足$\varphi_2 \bot q_1$.用$\varphi_2$代替$\varphi_1$,重复上面的讨论,我们可以找到$A$与$B$的另一个公共特征值$q_2$, 且$q_2\bot \varphi_1$.继续这个过程,我们可以找到$A$与$B$的$n$ 个公共特征向量$q_1,\cdots ,q_n$满足$q_j\bot q_k(j\neq k)$.不妨假设他们的长度都等于$1$,于是$Q=(q_1,\cdots ,q_n)$即为所求的正交阵.
注:以上证明来自[矩阵不等式][2e][王松桂等],作了些许必要的修改.
沪公网安备 31011702001868号）
