博士家园

小结果,大用处(三)

热度 1已有 377 次阅读2017-3-29 19:33

如下不等式是大家都熟悉的:
\[\ln (1+x)<x,\forall x>0.\]
但能否灵活运用它就不好说了。其实,它的若形式更好用:
\[\ln x<x,\forall x>0.\]
它的变形是
\[\ln x<\frac{x^\lambda}{\lambda},\forall x>0,\lambda>0.\]

例1 证明: 对任何$a>0$,$b>0$, 有$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^a x}{x^b}=0$.

证 取$\lambda =\frac{b}{2a}>0$, 则$\ln x<\frac{x^\lambda}{\lambda}=\frac{2ax^{\frac{b}{a}}}{b}$, 故
\[\frac{\ln^a x}{x^b}<\left(\frac{2a}{b}\right)^a\frac{1}{x^{{1}{2b}}}\to 0(x\to +\infty).\]



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