博士家园

一个三角不等式

热度 1已有 121 次阅读2017-1-4 23:49

命题 1: 设$0<\alpha<1,x>0,y>0$,那么

$$(x+y)^{\alpha}\leq x^{\alpha}+y^{\alpha}$$

证明:

$$F(x)=x^{\alpha}+y^{\alpha}-(x+y)^{\alpha}$$

那么

$$F'(x)=\alpha [x^{\alpha-1}-(x+y)^{\alpha-1}]\geq 0$$

所以$F(x)$在$[0,\infty)$单调递增,$F(x)\geq F(0),\,x>0$.因此命题1成立.

命题 2: 设 $0<\alpha<1, 0<x<y$,那么

$$y^{\alpha}-x^{\alpha}\leq (y-x)^{\alpha}$$

注: 用命题2可轻易得 $f(x)=x^{\alpha},0<\alpha<1$在$[0,\infty)$一致收敛.

证明: 设$y=x+r,r>0$,由命题 1即可得命题2成立.

命题3: 设$\alpha>1,x>0,y>0$,那么

$$(x+y)^{\alpha}\geq x^{\alpha}+y^{\alpha}$$

证明略.


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发表评论 评论 (1 个评论)

回复 zwb565055403 2017-1-4 23:49
此不等式有初等证明.

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