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关于kantorovich不等式的高代题

热度 5已有 367 次阅读2017-12-9 21:10 |个人分类:奇妙数学

看《矩阵不等式》照葫芦画瓢证明的一道关于kantorovich不等式的高代考研题,因为我感觉挺精彩的所以分享给大家
题目是这样的:
设$A$为$n$阶实对称矩阵的正定矩阵,$\lambda_1,\lambda_n$分别是$A$最小特征值与最大特征值,证明:对任意的$n$维实的非零列向量$\alpha$,都有$$\frac{\alpha^TA\alpha\alpha^TA^{-1}\alpha}{(\alpha^T\alpha)^2}\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}$$

证明:设$\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n 为A的特征值,U=diag{\lambda_1 ,\cdots ,\lambda_n }.则存在正交矩阵T,使得A=T'UT,记y=T\alpha$
$$\Rightarrow\frac{\alpha^TA\alpha\alpha^TA^{-1}\alpha}{(\alpha^T\alpha)^2}=\frac{(\alpha^TT^TUT\alpha)(\alpha^TT^TU^{-1}T\alpha)}{(\alpha^TT^TT\alpha)^2}$$
$$=\frac{(\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2)({\displaystyle\frac1{\lambda_1}}y_1^2+\cdots+{\displaystyle\frac1{\lambda_n}}y_n^2)}{(y^Ty)^2}=(\sum_{i=1}^n\lambda_i\xi_i)(\sum_{i=1}^n\frac{\xi_i}{\lambda_i})$$
$$\mathrm{原不等式}\Leftrightarrow(\sum_{i=1}^n\lambda_i\xi_i)(\sum_{i=1}^n\frac{\xi_i}{\lambda_i})\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}$$
定义$u_i,v_i (i=1,2,\cdots ,n),其中0 \leq u_i,v_i \leq 1$,$$\begin{array}{l}\lambda_i=\lambda_1u_i+\lambda_nv_i\\\frac1{\lambda_i}=\frac{u_i}{\lambda_1}+\frac{v_i}{\lambda_n}\end{array}$$
再由$1=\frac1{\lambda_i}\lambda_i=(\lambda_1u_i+\lambda_nv_i)(\frac{u_i}{\lambda_1}+\frac{v_i}{\lambda_n})=(u_i+v_i)^2+\frac{u_iv_i(\lambda_1-\lambda_n)^2}{\lambda_1\lambda_n}$
$$\Rightarrow u_i+v_i\leq1,i=1,2,\cdots,n$$
$$记u=\sum_{i=1}^n\xi_iu_{i\;},\;v=\sum_{i=1}^n\xi_iv_i\;\;\;\Rightarrow\;\;\;u+v=\sum_{i=1}^n\xi_i(u_i+v_i)\leq\sum_{i=1}^n\xi_i=1$$
综合以上讨论有,
$$(\sum_{i=1}^n\lambda_i\xi_i)(\sum_{i=1}^n\frac{\xi_i}{\lambda_i})=\lbrack\sum_{i=1}^n(\lambda_1u_i+\lambda_nv_i)\xi_i\rbrack\lbrack\sum_{i=1}^n(\frac{u_i}{\lambda_1}+\frac{v_i}{\lambda_n})\xi_i\rbrack$$
$$=\lbrack\lambda_1\sum_{i=1}^nu_i\xi_i+\lambda_n\sum_{i=1}^nv_i\xi_i\rbrack\lbrack\frac1{\lambda_1}\sum_{i=1}^nu_i\xi_i+\frac1{\lambda_n}\sum_{i=1}^nv_i\xi_i\rbrack$$
$$=(\lambda_1u+\lambda_nv)(\frac u{\lambda_1}+\frac v{\lambda_n})=(u+v)^2+\frac{uv(\lambda_1-\lambda_n)^2}{\lambda_1\lambda_n}$$
$$=(u+v)^2\lbrack1+\frac{4uv}{(u+v)^2}\frac{(\lambda_1-\lambda_n)^2}{\lambda_1\lambda_n}\rbrack$$
$$=1+\frac{(\lambda_1-\lambda_n)^2}{\lambda_1\lambda_n}\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}$$



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发表评论 评论 (2 个评论)

回复 金童玉女 2017-12-9 21:56
先鲜花再看。
回复 Vanuatu 2017-12-9 21:58
金童玉女: 先鲜花再看。
来的正是时候,刚好编辑的差不多了

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