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[数学分析] 最近做到的几道难题

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发表于 2021-11-1 00:39:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
1. 判断真伪: $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负连续可导有界, 且 $\int_{0}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x<+\infty$, 则 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ 存在有限.


2. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续可导, 且 $\lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=+\infty$. 试证明存在 $\xi\in(-\infty,+\infty)$, 使得
\[\xi f'(\xi)=-f(\xi).\]
3. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二次可微且 $f''(x)\neq0$, 并有 $\lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=A<0$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=B<0$, 证明: $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上必有最大值或最小值.


4. 求曲面 $z=x^2-y^2$ 包含在柱面 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 内那部分的面积


5. 计算曲面积分 $$I=\iint_{\partial\Omega}x^2\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+y^2\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+z^2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$$, 其中
\[\Omega=\big\{(x,y,z)\big|0\leqslant z\leqslant\sqrt{4-x^2-y^2},x^2+y^2\leqslant1\}.\]

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 楼主| 发表于 2021-11-3 10:51:45 | 显示全部楼层
第二道错题! 反例如下: $f(x)=x^2+66$, 则 $f'(x)=2x$, 显然有
\[\lim_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to+\infty}f'(x)=+\infty\]
但 $xf'(x)+f(x)=3x^2+66>0$, 不成立! 修改题目条件, 如: $\lim_{x\to-\infty}f'(x)=+\infty$.\\
由极限定义
1. 因为 $$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=+\infty$$, 故 $\exists X_2>0$, $\forall M>0$, 当 $x>X_2>0$ 时, 有 $f'(x)>M$.
2. 因为 $$\lim_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty$$, 故 $\exists X_1>0$, $\forall M>0$, 当 $x<X_1<0$ 时, 有 $f'(x)>-M$.        
根据 Lagrange 中值定理, 我们有
1. $\forall x>X_2>0$, $\exists\xi_1\in(X_2,x)$, 使得

$$f(x)=f(X_2)+f'(\xi_1)(x-X_2), \quad\xi_1\in(X_2,x)$$
$$\geqslant f(X_2)+M(x-X_2)\to+\infty,\quad x\to+\infty$$
$$\geqslant f(X_2),\quad\forall x>X_2$$               

2. $\forall x<X_1<0$, $\exists\xi_2\in(x,X_1)$, 使得


$$f(x)=f(X_1)+f'(\xi_2)(x-X_1),\quad\xi_2\in(x,X_1)\\
\leqslant f(X_1)+M(x-X_1)\to-\infty,\quad x\to-\infty\\
\leqslant f(X_1),\quad\forall x<X_1$$               
进一步得到
\[\lim_{x\to+\infty}xf(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}xf(x)=+\infty\]
显然有
\[\begin{cases}
xf(x)>X_2f(X_2), & \forall x>X_2>0\\
xf(x)>X_1f(X_1), & \forall X_1<x<0       
\end{cases}\]
显然 $xf(x)$ 在 $[X_1,X_2]$ 上连续, 由最值定理, $\exists \xi\in[X_1,X_2]$, 使得
\[xf(x)\geqslant \xi f(\xi),\quad \forall x\in[X_1,X_2]\]
因此, 有 $\min_{x\in\mathbb R}f(x)=f(\xi)$. 最后根据 Fermat 定理, 得
\[f'(\xi)=0 \Rightarrow\xi f'(\xi)=-f(\xi).\]

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