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[数学分析] 求教证明的详细过程

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发表于 2021-3-1 13:32:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
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以下是邓东皋《数学分析简明教程》中一个证明题中的等式,求教等式的具体证明过程。
$$\frac{ \varepsilon  }{2(n+1)\pi }\int_{-\pi}^{\pi}\big(\frac{\sin\frac{n+1}{2}t}{\sin\frac{t}{2}}\big)^{2} \mathrm{d}t=\varepsilon.$$

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发表于 2021-3-2 13:23:06 来自手机 | 显示全部楼层
Fejer 核了解一下
发表于 2021-3-3 20:08:20 | 显示全部楼层
显然, 证明
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=(n+1)\pi\]
即可.  令
\[\varphi_k(x)=\frac{\sin\frac{2k-1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}},\]

\[\int_0^\pi(\varphi_{k+1}(x)-\varphi_k(x))dx=2\int_0^\pi \cos kxdx=0(k=1,2,\cdots).\]
因此
\[\int_0^\pi\varphi_k(x)dx=\int_0^1\varphi_1(x)dx=\int_0^\pi dx=\pi, k=1,2,\cdots.\]
再注意到
\[\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1-\cos (n+1)x}{2\sin^2\frac{x}{2}}=
\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}\sum_{k=1}^{n+1}(\cos (k-1)x-\cos
kx)=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\sin\frac{2k-1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}=\sum_{k=1}^{n+1}\varphi_k(x)dx,\]
即可得到
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=\sum_{k=1}^{n+1}\int_0^\pi \varphi_k(x)dx=(n+1)\pi.\]
发表于 2021-3-4 15:14:33 | 显示全部楼层
需要几个基本的等式,前两个可以使用积化和差公示证明。
\begin{align}
(1)\quad &\frac 1 2 + \sum_{k=1}^n\cos kt= \frac{\sin(n+\frac 1 2)t}{2\sin \frac t 2},n=0,1,\cdots\\
(2)\quad &\sin\frac t 2 \sum_{k=0}^n\sin (k+\frac 1 2)t= \sin^2\left(\frac {n+1} 2\right)t,n=0,1,\cdots\\  
(3)\quad &\int_{-\pi}^{\pi}\cos kt{\rm d}t = 0, k\in {\mathbb N}^+
\end{align}

这样
\begin{align}
\frac{ 1 }{2(n+1)\pi }\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{\sin\frac{n+1}{2}t}{\sin\frac{t}{2}}\right)^{2}  {\rm d}t& =  \frac{ 1 }{(n+1)\pi }\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=0}^n\frac{\sin (k+\frac 1 2)t}{2\sin\frac{t}{2}}{\rm d}t \\
&=\frac{ 1 }{(n+1)\pi }\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=0}^n\left(\frac 1 2 + \sum_{i=1}^k\cos it\right){\rm d}t \\
&=\frac{ 1 }{(n+1)\pi }\int_{-\pi}^{\pi}\frac {n+1} 2 {\rm d}t \\
&=1
\end{align}
 楼主| 发表于 2021-3-17 01:11:35 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2021-3-3 20:08
显然, 证明
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=(n+1)\pi\]
即可 ...


$$\int_0^\pi   x \varphi_{k} dx=\int_0^1 x$$是怎么得出的?
 楼主| 发表于 2021-3-18 16:36:36 | 显示全部楼层
两个条件公式求解过程能否再详细一些?
 楼主| 发表于 2021-3-18 16:38:04 | 显示全部楼层
hwiechern 发表于 2021-3-4 15:14
需要几个基本的等式,前两个可以使用积化和差公示证明。
\begin{align}
(1)\quad &\frac 1 2 + \sum_{k=1} ...

前两个基本等式是如何推导的,能否详细一点
 楼主| 发表于 2021-3-19 10:57:37 | 显示全部楼层
zhangsong 发表于 2021-3-17 01:11
\int_0^\pi   x \varphi_{k} dx=\int_0^1 x是怎么得出的?

打错了,应该是问$\int_0^\pi \varphi_{k} (x) dx=\int_0^1 \varphi_{1}(x)dx$是怎么得出的?
发表于 2021-3-19 14:46:26 | 显示全部楼层
zhangsong 发表于 2021-3-17 01:11
\int_0^\pi   x \varphi_{k} dx=\int_0^1 x是怎么得出的?

证明 显然, 证明
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=(n+1)\pi\]
即可.  令
\[\varphi_k(x)=\frac{\sin\frac{2k-1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}},\]

\[\int_0^\pi(\varphi_{k+1}(x)-\varphi_k(x))dx=2\int_0^\pi \cos kxdx=0(k=1,2,\cdots).\]
因此
\[\int_0^\pi\varphi_k(x)dx=\int_0^\pi\varphi_1(x)dx=\int_0^\pi dx=\pi, k=1,2,\cdots.\]
再注意到
\[\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1-\cos (n+1)x}{2\sin^2\frac{x}{2}}=
\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}\sum_{k=1}^{n+1}(\cos (k-1)x-\cos
kx)=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\sin\frac{2k-1}{2}x}{\sin\frac{x}{2}}=\sum_{k=1}^{n+1}\varphi_k(x)dx,\]
即可得到
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=\sum_{k=1}^{n+1}\int_0^\pi \varphi_k(x)dx=(n+1)\pi.\]
发表于 2021-3-20 20:13:09 | 显示全部楼层
分部积分, 得到
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=-2\cot\frac{x}{2}\sin^2\frac{(n+1)x}{2}\Big|_0^\pi
+(n+1)\int_0^\pi\frac{\sin
(n+1)x\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx,\] 其中
\[\cot\frac{x}{2}\sin^2\frac{(n+1)x}{2}\Big|_0^\pi=0,\]
\[\int_0^\pi\frac{\sin
(n+1)x\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx=\int_0^\pi\frac{\sin
nx\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx+\int_0^\pi\frac{(\sin
(n+1)x-\sin nx)\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx,\] 其中
\[\int_0^\pi\frac{(\sin
(n+1)x-\sin nx)\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx=\int_0^\pi
2\cos\frac{(2n+1)x}{2}\cos\frac{x}{2}dx=\int_0^\pi (\cos nx-\cos
(n+1)x)dx=0.\] 从而
\[\int_0^\pi\frac{\sin
(n+1)x\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx=\int_0^\pi\frac{\sin
nx\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx=\cdots=\int_0^\pi\frac{\sin
x\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}dx=\int_0^\pi
2\cos^2\frac{x}{2}dx=\pi.\] 因此
\[\int_0^\pi\left(\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\right)^2dx=(n+1)\pi.\]

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