证明f(x)是线性函数

设$f(x)$在$R$上连续可微，$$ \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x) = A$$是有限数，且对于任何$x \in R$有
$$f(x+1)-f(x)=f'(x).$$
证明  ：$f(x)=ax+b,a$和$b$是常数.

首先，我们证明 $f'(x)=A$,固定 $x$,我们有
$$f(x+n)-f(x)=nf'(x)$$
于是
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{f(x+n)-f(x)}{n}=f'(x)$$
利用
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{f(x+n)}{n}=\lim_{t\to+\infty}\frac{f(x+t)}{t}=\lim_{t\to\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x+t)=A$$
于是我们证明出
$$f'(x)=A$$
于是 $f(x)=Ax+f(0)$

herbertfederer 发表于 2019-5-25 10:30
首先，我们证明 (x)=A,固定 x,我们有
f(x+n)-f(x)=n(x)
于是

谢谢谢谢~~

$$f(x+1) -f(x)=f'(x)$$
由于左便可以求导，于是右边存在$f''(x)$.
两边都求一阶导数,得
$$f'(x)-f'(x)=f''(x)$$,
即$f''(x)=0$;
故$f(x)$是线性函数。

ziou2004 发表于 2019-5-28 11:32
f(x+1) -f(x)=(x)
由于左便可以求导，于是右边存在'(x).
两边都求一阶导数,得

写错了，求导以后是 $f'(x+1)-f'(x)=f''(x)$

貌似不能推出2楼的
$$
        f(x+n)-f(x)=nf'(x)
$$

我觉得命题条件可能欠充分。倒是可以证得
$$
                \lim\limits_{x \to+\infty}f''(x)=0
$$
这个证明如下：
将
$$
        f(x+1)-f(x)=f'(x)
$$
两边同时求导得
$$
                f'(x+1)-f'(x)=f''(x) \tag{1}
$$
由于
$$
                \lim\limits_{x \to+\infty}f'(x)=A
$$
应用柯西极限定义，${x \to+\infty}$时，(1)式左边为0，故右边
$$
                \lim\limits_{x \to+\infty}f''(x)=0
$$

ziou2004 发表于 2019-5-30 15:54
貌似不能推出2楼的

        f(x+n)-f(x)=n(x)

你两边求导的写法区分不了
$$f(x+2)-f(x)=f'(x),f(x+3)-f(x)=f'(x)\cdots $$
这些条件，肯定是做不出来的。


$$f(x+n)-f(x)=n f'(x)$$
不就是高中数列简单的累加法吗？

herbertfederer 发表于 2019-5-31 10:45
你两边求导的写法区分不了
f(x+2)-f(x)=(x),f(x+3)-f(x)=(x)\cdots
这些条件，肯定是做不出来的 ...

这样吗
$$
        f(x+1)-f(x)=f'(x)
$$
$$
        f(x+2)-f(x+1)=f'(x+1)
$$
$$
        f(x+3)-f(x+2)=f'(x+2)
$$
$$...$$
$$
        f(x+n)-f(x+n-1)=f'(x+n-1)
$$
两边相加后，右边并不等于
$nf'(x)$

ziou2004 发表于 2019-5-31 17:16
这样吗

        f(x+1)-f(x)=(x)

对，搞错了，再想想

herbertfederer 发表于 2019-6-1 19:07
对，搞错了，再想想

尝试先将条件转化为积分方程，只要证明其解是唯一的，想借助于常微分方程解的唯一性证明方法，要细致估计，不过有些细节没想很清楚，只当提供一种思考方式吧。