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[数学分析] 求一个和式的极限

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发表于 2019-1-6 08:52:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+n-k^2}}$$

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发表于 2019-1-6 12:40:59 来自手机 | 显示全部楼层
易知
\begin{align*}
&\qquad\sum_1^n \frac 1{\sqrt {n^2 +n -k^2}}\\ &\leqslant \frac 1{\sqrt n}+\frac 1n \sum_1^{n-1} \frac 1{\sqrt {1 - \dfrac {k^2}{n^2}}} \\
&\xrightarrow {n\to \infty} \int_0^1 \frac {\mathrm dx}{ \sqrt {1 -x^2}}.
\end{align*}
另一边有 $n^2  +n -k^2 \leqslant (n+1)^2 -k^2$, 且
\begin{align*}
&\qquad \sum_1^n \frac 1 {\sqrt {n^2 +n -k^2}}\\
&\geqslant \frac 1{n+1}\sum_1^n {\sqrt {1 - \dfrac {k^2}{(n+1)^2}}} \\
&= \frac 1{n+1}\sum_0^n {\sqrt {1 - \dfrac {k^2}{(n+1)^2}}} -\frac 1{n+1}\\
&\xrightarrow {n \to \infty} \int_0^1 \frac {\mathrm dx}{ \sqrt {1 -x^2}},
\end{align*}
故由夹逼定理即证得存在性.

上边用到了瑕积分的定义.
发表于 2019-1-6 13:36:39 | 显示全部楼层
注意到这个不等式

\[

1-\frac{k^2}{n^2} \le 1+\frac{1}{n} -\frac{k^2}{n^2} \le 1-\frac{(k-1)^2}{n^2}

\]
所以有
\[


\frac{1}{\sqrt{  1-\frac{k^2}{n^2}  }}  \ge  \frac{1}{\sqrt{  1+\frac{1}{n} -\frac{k^2}{n^2}  }} \ge \frac{1}{\sqrt{ 1-\frac{(k-1)^2}{n^2}  }}  

\]

然而
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{  1-\frac{k^2}{n^2}  }}  = \sum_{k=1}{n} \frac{1}{  1-\left(\frac{k}{n}\right)^2  }\frac{1}{n}  \to \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dt = \frac{\pi}{4}

\]

容易验证, 不等式右边极限也一样, 所以得到极限。
发表于 2019-1-6 18:32:31 | 显示全部楼层

注意到$n\geqslant 2$时, 必有
\[\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+n-k^2}}>\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{(n+1)^2-k^2}}=
\frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{1-\frac{k^2}{(n+1)^2}}}>\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}{n+1}}^{\frac{k}{n+1}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
=\int_0^{\frac{n}{n+1}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\]
\[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2+n-k^2}}<\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2-k^2}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}}}
<\sum_{k=1}^{n-1}
\int^{\frac{k+1}{n}}_{\frac{k}{n}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_{\frac{1}{n}}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\]

\[\int_0^{\frac{n}{n+1}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}<\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+n-k^2}}<\frac{1}{\sqrt{n}}+\int_{\frac{1}{n}}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},n\geqslant 2.\]
因此
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+n-k^2}}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{2}.\]
 楼主| 发表于 2019-1-6 21:43:25 来自手机 | 显示全部楼层
只会将积分和放大,没有想出如何将积分和放小,谢谢老师们!

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