博士家园

发表于 2018-11-28 15:06:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
设数列$x_{n}$满足:$0< x_{1}<1,x_{n+1}=x_{n}(1-x_{n}),n=1,2,\cdot \cdot $.证明:
$$\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{n(1-n x_{n})}{\ln n} =1$$.

本帖被以下淘专辑推荐:

发表于 2018-12-3 17:37:00 | 显示全部楼层
(1) 易证明$x_n \to 0$,当$n\to +\infty $
(2)用stolz定理易证明$nx_n \to 1$,当$n\to +\infty$
(3)从分子中提取一个$x_n$,利用(2),同时再次用stolz定理得到结论
 楼主| 发表于 2018-12-10 08:45:26 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-3 17:37
(1) 易证明x_n \to 0,当n\to +\infty
(2)用stolz定理易证明nx_n \to 1,当n\to +\infty
(3)从分子 ...

从分子中提出$x_{n}$很精彩,问题一下子清晰啦。非常感谢!!!
发表于 2018-12-10 12:12:59 来自手机 | 显示全部楼层
我比较感兴趣这个题在哪里看到的
发表于 2018-12-10 12:15:28 来自手机 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-3 17:37
(1) 易证明x_n \to 0,当n\to +\infty
(2)用stolz定理易证明nx_n \to 1,当n\to +\infty
(3)从分子 ...


请问一下,第3步怎么用Stolz,$\ln x$不知道怎么处理?
发表于 2018-12-10 18:41:40 | 显示全部楼层
$$\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{n(1-n x_{n})}{\ln n} =1.$$
左边分子分母同时乘以$x_n$
分母部分的$nx_n$极限在(2)中
剩下的式子stolz.

$\ln(n+1)-\ln (n)$请用等价量替换.
发表于 2018-12-11 05:44:08 来自手机 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-10 18:41
\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{n(1-n x_{n})}{\ln n} =1.
左边分子分母同时乘以x_n
分母部分的 ...

明白了,多谢多谢,之前没有用等价替换,分母一直没办法跟$x_n$联系起来。
 楼主| 发表于 2018-12-12 17:30:20 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-10 12:12
我比较感兴趣这个题在哪里看到的

刘三阳《数学分析十讲》P20页 第4题
发表于 2018-12-15 09:10:33 | 显示全部楼层
两次 Stolz 都运用了对 $\frac{1}{x_{n}}$ 差分,
非常巧妙,充分利用了 $x_{n+1}-x_{n}=-x_{n}^2$
发表于 2018-12-15 23:58:24 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2018-12-15 09:10
两次 Stolz 都运用了对 \frac{1}{x_{n}} 差分,
非常巧妙,充分利用了 x_{n+1}-x_{n}=-x_{n}^2
...

这个题目是如何出的呢?

事后诸葛总结一下。

由于是对函数 $y=x(1-x)$ 迭代,考虑倒数,
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$$
于是
$$\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}=\frac{1}{1-x_{n}}$$

$$1-x_{n}=\frac{n+1-n}{\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}}$$
才有
$$\lim \frac{n}{\frac{1}{x_{n}}}=\lim (1-x_{n})$$

然后原来的问题

\begin{align}
\lim \frac{n(1-n x_{n})}{\log n}&=\lim \frac{n x_{n}(\frac{1}{x_{n}}-n)}{\log n}\\
&=\lim nx_{n}\lim \frac{\frac{1}{x_{n}}-n}{\log n}\\
&=\lim \frac{\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}-1}{\log(n+1)-\log n}\\
&=\lim \frac{1}{1-x_{n}}\frac{nx_{n}}{\log (1+\frac{1}{n})^{n}}\\
&=1
\end{align}

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