博士家园

发表于 2018-11-28 15:06:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
设数列$x_{n}$满足:$0< x_{1}<1,x_{n+1}=x_{n}(1-x_{n}),n=1,2,\cdot \cdot $.证明:
$$\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{n(1-n x_{n})}{\ln n} =1$$.

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发表于 2018-12-3 17:37:00 | 显示全部楼层
(1) 易证明$x_n \to 0$,当$n\to +\infty $
(2)用stolz定理易证明$nx_n \to 1$,当$n\to +\infty$
(3)从分子中提取一个$x_n$,利用(2),同时再次用stolz定理得到结论
 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-3 17:37
(1) 易证明x_n \to 0,当n\to +\infty
(2)用stolz定理易证明nx_n \to 1,当n\to +\infty
(3)从分子 ...

从分子中提出$x_{n}$很精彩,问题一下子清晰啦。非常感谢!!!
发表于 5 天前 来自手机 | 显示全部楼层
我比较感兴趣这个题在哪里看到的
发表于 5 天前 来自手机 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-3 17:37
(1) 易证明x_n \to 0,当n\to +\infty
(2)用stolz定理易证明nx_n \to 1,当n\to +\infty
(3)从分子 ...


请问一下,第3步怎么用Stolz,$\ln x$不知道怎么处理?
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
$$\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{n(1-n x_{n})}{\ln n} =1.$$
左边分子分母同时乘以$x_n$
分母部分的$nx_n$极限在(2)中
剩下的式子stolz.

$\ln(n+1)-\ln (n)$请用等价量替换.
发表于 4 天前 来自手机 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-10 18:41
\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{n(1-n x_{n})}{\ln n} =1.
左边分子分母同时乘以x_n
分母部分的 ...

明白了,多谢多谢,之前没有用等价替换,分母一直没办法跟$x_n$联系起来。
 楼主| 发表于 3 天前 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2018-12-10 12:12
我比较感兴趣这个题在哪里看到的

刘三阳《数学分析十讲》P20页 第4题

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