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发表于 2018-10-27 09:43:16 | 显示全部楼层 |阅读模式
题目:试证明,对于任意正整数$n$,表达式$\left[(\sqrt{5}+2)^{2n}\right]$都是奇数。

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发表于 2019-1-8 21:22:43 | 显示全部楼层
由于 $2+\sqrt{5}=1+2\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,于是我们联想到类斐波那契数列数列,我们记
\[\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\]
于是 $\alpha+\beta=1,\alpha\beta=-1$
归纳地,我们有 $\alpha^k+\beta^k$ 对任意 $k\in\mathbb{N}$,都是整数.

考虑由于 $0<(1-2\beta)^2<1$,因此我们有
\[(1+2\alpha)^{2n}+(1-2\beta)^{2n}-1<(1+2\alpha)^{2n}<(1+2\alpha)^{2n}+(1-2\beta)^{2n}\]
然而
\[(1+2\alpha)^{2n}+(1-2\beta)^{2n}=2+\sum_{k=1}^{2n}{2n \choose k}2^k(\alpha^k+\beta^k)\]
是偶数 $2m$,于是
$(1+2\alpha)^{2n}$ 夹在 $2m-1$ 和 $2m$ 之间,从而 $(1+2\alpha)^{2n}$ 整数部分是奇数. 也就是

\[{(2+\sqrt{5})^{2n}}=(1+2\alpha)^{2n}\]
整数部分是奇数.
发表于 2019-1-13 21:58:18 | 显示全部楼层
或者是讲的简单一点是这样的: 设
\[
(\sqrt{5} +2 )^{2n} =a+b \sqrt{5}\\
(\sqrt{5} - 2 )^{2n} =a- b \sqrt{5}\\
\]

所有我们看到有
\[
(\sqrt{5} +2 )^{2n}  = (\sqrt{5} +2 )^{2n}  + (\sqrt{5} - 2 )^{2n} -(\sqrt{5} - 2 )^{2n} = 2a  -(\sqrt{5} - 2 )^{2n}
\]
但是因为有
\[
0\le (\sqrt{5} - 2 )^{2n} \le 1
\]
所以有
\[
2a-1< (\sqrt{5} +2 )^{2n}  < 2a
\]

故而有
\[
[(\sqrt{5} +2 )^{2n}] =2a-1
\]
所以是奇数。

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