博士家园

发表于 2018-1-9 16:40:17 | 显示全部楼层 |阅读模式
2018.1.9 上午8:30--10:30

据悉今年使用的教材是 K. Hoffman, R. Kunze: Linear Algebra

反响好我再发出期中试卷

一、设矩阵$A\in \mathbb{R}^{4\times 4}$的矩阵元均为$1$或$-1$, 求$\det A$的最大值.

二、设$V$是所有从有限域$F_p$到自身的映射构成的$F_p$-线性空间. 定义$T, U\in L(V)$为
$$ T(f)(t)=f(-t), \ \  U(f)(t)=f(t+1)-f(t), \ \ \forall \ f\in V, t\in F_p.$$
求$\det T$和$\det U$.

三、设$V$是有限维$F$-空间, $W$是$V$的子空间, $T\in L(V)$满足$T(W)\subset W$. 定义$T_W\in L(W)$和$T_{V/W}\in L(V/W)$为
$$T_W(\alpha)=T(\alpha), \alpha\in W,$$
$$T_{V/W}(\alpha+W)=T(\alpha)+W, \alpha\in V.$$
证明$\det T=\det T_W \det T_{V/W}$.

四、设$A\in F^{n\times n}$, $V$和$W$是$F^n$的子空间. 证明下述等价:

(a) 对任意的$a\in V-\{0\}$, 存在$\beta\in W$使得$\alpha A\beta^t\neq 0$.

(b) 对任意的$\gamma\in F^n$, 存在$\beta\in W$使得对任意的$\alpha\in V$有$\alpha V\beta^t=\alpha\gamma^t$.

五、设$F$是无限域. 证明对多项式代数$F[x]$的任意有限维子空间$V$, 存在$F[x]$的理想$M$满足
$$V\cap M=\{0\}, \ \ \ V+M=F[x].$$

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发表于 2018-1-9 16:58:41 来自手机 | 显示全部楼层
第一题是北大考研的简化版?
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发表于 2018-1-9 17:58:06 | 显示全部楼层
谢谢楼主的分享!
我查了一下,Hoffman和Kunze的教材于1971年出版了第2版,2015年Pearson India重印了第2版的Paperback平装本,我国的世界图书出版公司也曾影印过第2版。该书信息如下:
Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray
Linear algebra. Second edition.
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1971 viii+407 pp
为什么北京大学的高等代数实验班要选用这本出版于47年以前的教材呢?
是因为这本书观点特别高?还是理论体系特别好?还是内容讲解得很仔细?还是别的原因?
希望有了解内情的坛友讲一下相关的情况。提前谢谢!
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发表于 2018-1-9 20:52:13 | 显示全部楼层
我可能只会做第一题
因为好像有两个这样的引理:
引理1:元素为1或者为-1的$n(n\geq 2)$阶矩阵$A$的行列式$det A$的值能够被$2^{n-1}$整除.
引理2:元素为1或者为-1的$n(n\geq 3)$阶矩阵$A$的行列式的绝对值不超过$n(n-2)!(n-2)$.

证明:根据引理1知$det A$的值是8的倍数,同时根据引理2有$det A$绝对值不超过16,
因此可得$det A$可能的取值为0,8,16,-8,-16.
因为$$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{vmatrix}=16.$$
所以最大值为16。
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发表于 2018-1-10 11:32:15 来自手机 | 显示全部楼层

矩阵是块对角阵, 对角线有两个大块, 其余为0.

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发表于 2018-1-10 12:10:17 | 显示全部楼层
Hadamard 不等式岂不更简洁?
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发表于 2018-1-10 14:05:53 | 显示全部楼层
该课程由 安金鹏 讲授,青年教师
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发表于 2018-1-10 18:30:15 | 显示全部楼层
math1 发表于 2018-1-9 17:58
谢谢楼主的分享!
我查了一下,Hoffman和Kunze的教材于1971年出版了第2版,2015年Pearson India重印了第2版 ...


戈德门特的代数学教程这么评价


网上台湾交通大学开放式课程线性代数,里面的参考书加教材有三本,其中一本是这本,第一课有评价

这本书的写法和国内教材的写法很像,定义 例子 定理 例子 习题
而且理论化,典型的数学系教材
里面的内容也和国内数学系教材相差不大,看这本书应付国内考试不需要大的删删减减,对比克斯特利金

除了语言,从国内的教材换这本不需要怎么适应


另外容易买得到 便宜 我手里的书定价39,当然时间比较久了


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发表于 2018-1-10 18:49:09 来自手机 | 显示全部楼层
Vanuatu 发表于 2018-1-9 20:52
我可能只会做第一题
因为好像有两个这样的引理:
引理1:元素为1或者为-1的n(n\geq 2)阶矩阵A的行列 ...

参考丘维声创新教材补充题二的3456题
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发表于 2018-1-10 20:09:15 来自手机 | 显示全部楼层
谈到教材, 我也说几个好了

Linear Algebra Done Right, 3rd ed. Sheldon Axler.
偏几何化的线性代数, 特色是改写了一般线性代数的陈述体系, 强调线性变换本身, 弱化行列式函数$\det$的地位, 集中在$\mathbb R, \mathbb C$中处理问题, 集中处理有限维空间的变换理论. 习题中常规计算与理论证明都有一定的比重.
这是北京大学许晨阳教授在MIT教线性代数用过的教材. 似乎北京大学本科也用过.

Linear Algebra Done Wrong. Sergei Weil. Brown University.
目前还是讲义的形式, 没正式出版, 且能轻易在网上找到. 与上一本的书名鲜明对照. 比较正常的线性代数教材, 穿插了一些应用内容, 行列式在前半部分就引入体系. 与变换的谱相关的定理单独放在最后一章讲述, 比如Hamilton-Cayley, Jordan 标准形, 多项式谱定理.

点评

谢谢推荐图书信息!  发表于 2018-1-10 21:57
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