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[考研真题] 2018中国科学技术大学数学分析试题

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Vanuatu 发表于 2018-1-5 09:04:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
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Hansschwarzkopf 发表于 2018-1-5 22:23:37 | 显示全部楼层
第九题的解答


9.  设 $B_R=\{(x,y): x^2+y^2< R^2\},u\in C^2( B_R)\cap C(\overline {B_R})$ .

1) 若$\Delta u\geqslant 0$, 证明
\[\max_{(x,y)\in\overline {B_R}} u(x,y)= \max_{(x,y) \in \partial B_R} u(x,y).\]

证明 对任意$\varepsilon>0$, 令$v_\varepsilon
(x,y)=u(x,y)+\varepsilon (x^2+y^2)$, 则
\[\Delta v_\varepsilon (x,y)=\Delta u(x,y)+4\varepsilon\geqslant 4\varepsilon.\]
由此用反证法易证
\[\max_{(x,y)\in\overline {B_R}} v_\varepsilon (x,y)= \max_{(x,y) \in \partial B_R} v_\varepsilon(x,y).\]
令$\varepsilon\to 0^+$, 即得
\[\max_{(x,y)\in\overline {B_R}} u(x,y)= \max_{(x,y) \in \partial B_R} u(x,y).\]


2).  若$\Delta u(x,y)=0$, 则
\[\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial B_r}u(x,y)ds\right)=0, 0\leqslant r\leqslant R.\]


证  注意到
\[\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial B_r}u(x,y)ds=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\cos\theta,r\sin\theta)d\theta=
\int_{\partial B_1}u(rx,ry)ds.\]从而根据Gauss公式, 得到

\begin{align*}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial
B_r}u(x,y)ds\right)&=\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B_1}(u_x(rx,ry)x+u_y(rx,ry)y)ds\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B_1} \frac{\partial
u(rx,ry)}{\partial
\nu}ds\\
&=\frac{1}{2\pi}\iint\limits_{\overline B_1}\Delta
u(rx,ry)dxdy\\
&=0.\end{align*}
3).  证明 若$\Delta u(x,y)=0$, 则
\[u(0,0)=\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial B_r}u(x,y)ds.\]

证 根据2), 得到
\[\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial B_r}u(x,y)ds=\lim_{r\to 0^+}\frac{1}{2\pi r}\int_{\partial B_r}u(x,y)ds=u(0,0).\]
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caffarelli 发表于 2018-1-10 14:07:30 | 显示全部楼层
这第九题是 偏微分课程中的 极值原理和平均值公式啊。
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laibaofeng 发表于 2018-1-10 22:35:32 | 显示全部楼层
感觉第一题第而小问有难度,请教思路。
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Hansschwarzkopf 发表于 2018-1-11 07:59:23 | 显示全部楼层
laibaofeng 发表于 2018-1-10 22:35
感觉第一题第而小问有难度,请教思路。

取对数,然后用
\[\arctan x+\frac{\pi}{2}\sim-\frac{1}{x}(x\to -\infty)\]
即可.
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laibaofeng 发表于 2018-1-11 11:49:14 | 显示全部楼层
我说的是第二小问。
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