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发表于 2017-12-24 19:25:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
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 楼主| 发表于 2017-12-24 20:43:39 来自手机 | 显示全部楼层
数学分析试题更正:
1(c)

\[
\log(2) - 2 +\frac \pi 2
\]
2.
$x_1$, $x_4$间少了“$…$”
6.
方程各项的符号可能有错, 比如中间那项是减号不是加号: $\mathrm e^{-x} - \cos(2x) + x\sin(x) = 0$[ 然而记不清了]
发表于 2017-12-25 13:19:33 | 显示全部楼层
第一题,可以利用3阶行列式的几何意义,放到正方体中考虑,可以穷举出来.

第三题,在丘维声书上应该可以找到差不多的题目.

第四题,注意到与一般的矩阵表示不同,这里矩阵放到了基的左边,去计算会发现天生会有$(\mathcal{A}\mathcal{B})_f=(\mathcal{B})_f(\mathcal{A})_f$,从而矩阵是数量阵.

第五题,参考GTM162,P44,lemma 7可以得到一半的结论,再利用行变换实现"行交换"(会产生负号,但不影响非0).

第六题,也是利用行变换的思想,如果某列中某个元素不为0,不妨设为第一行,通过行变换可以得到$(e_i,0,\cdots,0)_{i=1}^n\in V$.从而不拿找到$n$个$n$维子空间,而$(\alpha,\alpha,0,\cdots,0)$形式的显然也是的.

(2)需要证明$n$维公共子空间只有上述所说的形式(0列可能没有$n-2$列),然后同样假设某列中有某个元素不为零,通过反证法使用行变换等可以得到结论.
 楼主| 发表于 2017-12-26 07:59:02 来自手机 | 显示全部楼层
高代一

分行列式为3个正号项与3个负号项, 证明行列式为3不可能, 行列式为2可以取到就可以了. 可对正号项中1的个数进行讨论.

高代二

归纳法,先对单项式证明结论,用第二归纳法,并注意到$(n+1)^{k+1} - n^{k+1}$是一些不超过$k$次单项式的线性组合, 从中反解出$n^k$就能找到这样的多项式.
 楼主| 发表于 2017-12-26 08:01:14 来自手机 | 显示全部楼层
数分4

用极坐标计算, 先对角度积分再对极径积分, 那么可以用洛必达法则和变上限积分求导简化极限式, 求一次导数之后把被积表达式在0点Taylor展开就得到结果.  
发表于 2018-1-10 00:04:56 | 显示全部楼层
高代一
解:为了使$A$的行列式最大,应该使得带正号的项的三个元素的积为1,带负号的项元素的积为0.
但是如果三个带正号的元素之积为1,此时元素全部为1,从而$A$的行列式为0.
所以考虑两个带正号的项为1,三个带负号的项为0,此时行列式等于2,比如
$$\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{vmatrix}=2$$
所以$A$的行列式最大值为2
发表于 2018-1-22 19:41:36 | 显示全部楼层
北大2018高等代数第5题可以详细解答一下吗
发表于 2018-1-23 00:12:49 | 显示全部楼层
太棒了!感谢分享!
 楼主| 发表于 2018-1-23 13:24:43 来自手机 | 显示全部楼层
gtly12345 发表于 2018-1-22 19:41
北大2018高等代数第5题可以详细解答一下吗

想办法用第三类初等行变换表示其它两种. 这个题只需要你表示出行交换变换就可以, 只要系数不是0, 行乘倍变换可不用管, 因为它不改变矩阵的形状.
发表于 2018-2-4 11:10:46 | 显示全部楼层
有没有题目错的啊?

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