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[大学生赛] 第七届全国大学生数学竞赛试题

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发表于 2015-10-24 15:58:41 |显示全部楼层
本帖最后由 陶哲轩小弟 于 2015-10-25 10:14 编辑

上午已经考完了数学竞赛,相信很多人都对试题很是期待!我把数专的真题排版了下,第1,5,6题是回忆的,希望不会有错。另附非数组解答,这个似乎是官方的!

现在补充数学专业组的官方解答!

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发表于 2015-10-24 17:07:57 |显示全部楼层
thank you very much
,建议发到竞赛版
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发表于 2015-10-24 17:14:37 |显示全部楼层
本帖最后由 morrismodel 于 2015-10-24 17:56 编辑

第四题: 用归纳法可得:
$$n\leq a_n\leq n+c,\quad\forall\ n\geq2,\quad \text{其中 }c=a_1+\frac{1}{a_1}-2\geq0.$$
从而$\{(n-1)(a_n-n)\}$是递增有上界的.
第五题:
$$\sum_{n=1}^\infty\max_{x\in[0,A]}|g_n(x)-g_{n-1}(x)|\leq \sup_{x\in[0,\infty)}|f(x)|\sum_{n=1}^\infty a^n<\infty.$$
第六题: 不妨设$f(x)\geq 0$且
$$f(x)+a\int_{x-1}^xf(t)dt=M.$$
则用归纳法可得:
$$(1-a+a^2-a^3+\cdots +a^{2n}-a^{2n+1})M\leq f(x)\leq (1-a+a^2-a^3+\cdots+ a^{2n})M.$$
命$n\rightarrow\infty$即可.
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发表于 2015-10-24 17:30:51 来自手机 |显示全部楼层
morrismodel 发表于 2015-10-24 17:14
第四题: 设
a_{n+1}=a_n+\frac{n}{a_n},\quad a_1>0.
求证: \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n(a_n-n ...

是$n$,不是$n-1$,我算出的结果是0
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发表于 2015-10-24 17:34:03 |显示全部楼层
YinX 发表于 2015-10-24 17:30
是n,不是n-1,我算出的结果是0

你算错了吧.
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发表于 2015-10-24 17:35:17 来自手机 |显示全部楼层
嗯,是的,做错了一题,15分。。
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YinX    

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发表于 2015-10-24 17:48:39 来自手机 |显示全部楼层
第三题$令B=A^2-E,则AX=XB.$$由于A,B没有公共特征值,所以X=0$
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发表于 2015-10-24 18:57:36 |显示全部楼层
第二题是等于1/24吗
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发表于 2015-10-24 19:00:32 |显示全部楼层
morrismodel 发表于 2015-10-24 17:14
第四题: 用归纳法可得:
n\leq a_n\leq n+c,\quad\forall\ n\geq2,\quad \text{其中 }c=a_1+\frac{1}{a_1} ...

第5题的极限函数怎么求
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发表于 2015-10-24 20:05:43 |显示全部楼层
本帖最后由 morrismodel 于 2015-10-24 20:13 编辑
594225264 发表于 2015-10-24 19:00
第5题的极限函数怎么求


解积分方程
\[
g(x)=f(x)+\int_0^xh(t)g(t)dt.
\]
解得极限函数为
$$g(x)=f(x)+\int_0^xf(y)h(y)\exp\left\{\int_y^xh(t)dt\right\}dy.$$
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