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[高等代数] 证明线性空间的变换为线性变换

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发表于 2013-5-23 15:10:29 |显示全部楼层
chuangni 发表于 2013-5-2 22:01
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发表于 2013-6-19 22:51:33 |显示全部楼层
本帖最后由 zzyxunilc 于 2013-6-19 22:59 编辑

$\alpha_1,\cdots ,\alpha_n$为$V$的一个基,$\forall \alpha \in V,\alpha =\sum_i x_i\alpha_i$.对每个$i$,定义线性变换$A_i:\alpha \mapsto x_i\alpha_i$,

显然$id_V=\sum_i A_i$,$id_V$表示$V$上的恒等变换.又设$e_i$表示第$i$个分量为$1$,其余分量为$0$的$n$维向量.

$A(\alpha)=\sum_j f_j(\sum_i x_ie_i)\alpha_j$

$A(\alpha)=A(id_V(\alpha))=A((\sum_i A_i)(\alpha))=\sum_i A(A_i(\alpha))=\sum_i (\sum_j f_j(x_ie_i)\alpha_j)=\sum_j(\sum_i f_j(x_ie_i))\alpha_j$

由坐标的唯一性有,$\forall j,f_j(\sum_i x_ie_i)=\sum_i f_j(x_ie_i)$.

我们要证明的是,$\forall k\in \mathbf{F},\forall \alpha=\sum_i x_i\alpha_i,\beta=\sum_i y_i\alpha_i\in V,A(k\alpha+\beta)=kA(\alpha)+A(\beta)$.

$A(k\alpha+\beta)=A(\sum_i (k_ix_i+y_i)\alpha_i)=\sum_j f_j(\sum_i (kx_i+y_i)e_i)\alpha_j=\sum_j (\sum_i f_j((kx_i+y_i)e_i))\alpha_j$

$kA(\alpha)+A(\beta)=k\sum_j f_j(\sum_i x_ie_i)\alpha_j+\sum_j f_j(\sum_i y_ie_i)\alpha_j=\sum_j (kf_j(\sum_ix_ie_i)+f_j(\sum_i y_ie_i))\alpha_j=\sum_j (\sum_i (kf_j(x_ie_i)+f_j(y_ie_i))\alpha_j$

由坐标的唯一性有,$\sum_i f_j((kx_i+y_i)e_i)=\sum_i (kf_j(x_ie_i)+f_j(y_ie_i))$

因此只要证明$\forall i,\forall j,f_j((kx_i+y_i)e_i)=kf_j(x_ie_i)+f_j(y_ie_i)$即可.

将$A$限制在$Span(\alpha_i)$上,$\forall \alpha \in Span(\alpha_i),\alpha =k\alpha_i,A(\alpha)=\sum_j f_j(ke_i)\alpha_j$,只要证明$\forall j$,$f_j$都是线性函数即可,事实上,

定义线性变换$C$,使得$C(\alpha_i)=\alpha_i,\forall j\neq i,C(\alpha_j)=0$,则
$\forall m\in \mathbf{N},A(m\alpha_i)=A(mC(\alpha_i))=mA(C(\alpha_i))=mA(\alpha_i)$
$\Rightarrow \forall m\in \mathbf{N},\forall j,f_j(me_i)=mf_j(e_i)$

定义线性变换$B$,使得$B(\alpha_i)=\frac{1}{m}\alpha_i,\forall j\neq i,B(\alpha_j)=0$,则
$\forall m\in \mathbf{N},A(\alpha_i)=A(m\cdot \frac{1}{m}\alpha_i)=A(mB(\alpha_i))=mA(B(\alpha_i))=mA(\frac{1}{m}\alpha_i)$
$\Rightarrow \forall m\in \mathbf{N},A(\frac{1}{m}\alpha_i)=\frac{1}{m}A(\alpha_i)$
$\Rightarrow \forall q\in \mathbf{Q},\forall j,f_j(qe_i)=qf_j(e_i)$

再由$f_j$的连续性有,$\forall r\in \mathbf{F},\forall j,f_j(re_i)=rf_j(e_i)$
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发表于 2013-6-20 16:43:49 |显示全部楼层
zzyxunilc 发表于 2013-6-19 22:51
$\alpha_1,\cdots ,\alpha_n$为$V$的一个基,$\forall \alpha \in V,\alpha =\sum_i x_i\alpha_i$.对每个$i$ ...

谢谢您的耐心指教!
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