| 哈哈，国科大的还是交给我来发布吧。感谢我自己(Xiongge), irregularforce,Alchemist, 那是必须必须！提供并整理的试题。第二楼贴pdf吧，不然下载要金币 中国科学院大学 2017 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等代数 考生须知： 1. 本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1. (15分)证明:实系数多项式$f(x)$对所有实数$x$均有$f(x)\geq 0$,求证$f(x)$可以写成两实系数多项式的平方和$[g(x)]^2+[h(x)]^2$. 2. (15分) $f_i,i=1,\cdots,m,m 3. (20分) 求\[ \left|\begin{matrix} 1-a_1& a_2& & & \\ -1& 1-a_2& a_3& & \\ & \ddots& \ddots& \ddots& \\ & & \ddots& \ddots& a_n\\ & & & -1& 1-a_n\\ \end{matrix}\right| .\] 4. (20分) $f(x)=x'Ax$是实二次型,存在$x_1\neq x_2$使得$f(x_1)+f(x_2)=0$,证明存在$x_3\neq 0$,成立$f(x_3)= 0$. 5. (15分) 已知$A$为$n$阶幂等矩阵,即$A^2=A$. (1) 证明$A$的Jordan标准型是$\left(\begin{matrix} E_r& 0\\ 0& 0\\ \end{matrix}\right)$,其中$r=\mathrm{r} (A)$; (2) $\mathcal{R}(E_n-A)=\mathcal{N}(A)$,其中$\mathcal{R}(B)$是$B$的列向量张成的线性空间, $\mathcal{N}(B)$为$B$的解空间,即$\mathcal{N}(B)=\{x:Bx=0\}$. 6. (15分) 已知$A$为$n$阶可逆的反对称矩阵, $B=\left(\begin{matrix} A& v\\ v'& 0\\ \end{matrix}\right)$,其中$v$为$n$维列向量,求$\\mathrm{r}(B)$. 7. (15分)设\[ \left(\begin{array}{c} x_{3n}\\ x_{3n+1}\\ x_{3n+2}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{matrix} 3& -2& 1\\ 4& -1& 0\\ 4& -3& 2\\ \end{matrix}\right)\left(\begin{array}{c} x_{3n-3}\\ x_{3n-2}\\ x_{3n-1}\\ \end{array}\right) .\]给定初值$a_0=5,a_1=7,a_2=8$,求$x_n$的通项. 8. (18分) $n$维线性空间$V$有两子空间$U_1$和$U_2$,维数$\dim U_1\leq m,\dim U_2\leq m,m 9. (17分)设$A$是$n$阶实对称矩阵,且\[ A=\left(\begin{matrix} a_1& b_1& & & \\ b_1& a_2& b_2& & \\ & b_2& \ddots& \ddots& \\ & & \ddots& \ddots& b_{n-1}\\ & & & b_{n-1}& a_n\\ \end{matrix}\right) .\] (1) 证明$\mathrm{r} (A)\geq n-1$; (2) 证明$A$的特征值各不相同.  2017年中科院高等代数考研试题(Xiongge).pdf |
关于我们|手机版|订阅|博士家园
( 沪ICP备15045866号-1 )（
沪公网安备 31011702001868号）
GMT+8, 2023-3-27 18:50 , Processed in 0.139645 second(s), 25 queries .
