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几何分析领域的重大突破

2014-5-15 10:51| 发布者: 博士家园| 查看: 1173| 评论: 0|原作者: wnk1988

摘要: 中国科学技术大学数学科学学院“千人计划”陈秀雄教授和英国数学家、菲尔兹奖得主唐纳森(Donaldson),及科大年轻校友、陈秀雄教授前学生孙崧博士合作,成功解决了第一陈类为正时的“丘成桐猜想”。近日,他们的三 ...

 

 

中国科学技术大学数学科学学院“千人计划”陈秀雄教授和英国数学家、菲尔兹奖得主唐纳森(Donaldson),及科大年轻校友、陈秀雄教授前学生孙崧博士合作,成功解决了第一陈类为正时的“丘成桐猜想”。近日,他们的三篇系列论文发表在国际顶级数学期刊《美国数学会杂志》(Journal of the American Mathematical Society)上。

为了解释万有引力的本质,爱因斯坦于1916年创立广义相对论,并试图用一个二阶非线性偏微分方程组来度量引力场,也就是有名的“卡勒—爱因斯坦度量”(Kahler—Einstein度量)。后来的物理学家进一步发展出“弦”理论,在弦论里,我们的宇宙是十维的时空,即通常的四维时空,和一个很小的六维空间,而这些复杂的高维空间必须是“卡勒—爱因斯坦度量”。一直以来它们只在理论物理学家的推演和数学家的计算中。

在探索高维空间的过程中,1954年,意大利著名几何学家卡拉比(Calabi)在国际数学家大会上提出了一个伟大猜想:复杂的高维空间是由多个简单的多维空间“粘”在一起,因为简单的多维空间目前有成熟的数学工具能够进行解析,如果高维空间能够拆解,也就意味着高维空间可通过一些简单的几何模型拼装得到。这就是著名的“卡拉比猜想”——关于复几何领域高维空间的单值化的猜想,同时这也是求证高维空间上“卡勒-爱因斯坦度量”存在的猜想。

“卡拉比猜想”按照第一陈类(注:国际数学大师陈省身先生1945年发现复流上有反映复结构特征的不变量,后被命名为“陈省身示性类”,简称“陈类”,对整个数学界乃至理论物理的发展产生广泛而深刻的影响)为负、零、正分为三种情况。直到二十多年后,陈省身的弟子丘成桐才攻克了陈类为负和零的“卡拉比猜想”(其中陈类为负的情形由丘成桐和法国数学家奥宾各自独立解决),他也因此在1982年获得数学领域的诺贝尔奖——“菲尔兹”奖。

据专家介绍,数学家们的长期工作显示,关于卡比拉猜想中第一陈类为正的高维空间只有在满足特定条件下,“卡勒-爱因斯坦度量”才有可能存在。这个问题因此难度倍增,困扰学界几十年。丘成桐提出猜想,认为可将第一陈类为正的高维空间上的卡勒-爱因斯坦度量的存在性问题转化为代数几何的稳定性问题。这被认为是“复几何领域自卡拉比猜想解决后最重要的问题”。

在陈—唐纳森—孙的系列论文中,他们给出了卡勒-爱因斯坦度量的存在性之丘成桐猜想的完整证明。根据唐纳森教授2008年提出的研究纲领,结合微分几何、代数几何、多复变函数、度量几何等多个数学分支的方法,经过多种方法创新,他们终于最终解决了第一陈类为正时的“丘成桐猜想”。

《美国数学会杂志》审稿人评价说:“陈—唐纳森—孙的证明是突破性的,它不仅解决了一个基本性的问题,同时还发展了许多新颖有力的工具,以揭示卡勒几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。”国际数学大师德马依称:“无庸赘述,这一进展已在全世界范围内引起了强烈的反响。”这项重大国际研究成果的取得有赖于对近20年来各个领域众多数学家取得的基础性成果的关键运用,也标志着卡勒几何的研究达到一个全新的高度。这一突破也有望在代数几何以及“弦”论等理论物理上获得更多的重要应用。

相关论文链接:http://www.ams.org/journals/jams/0000-000-00/

陈秀雄教授简介:

陈秀雄教授出生于浙江省青田县, 1987年毕业于中国科大数学系,之后师从彭家贵教授,于中国科学院研究生院获硕士学位。1989年他赴美国宾夕法尼亚大学学习,1994年毕业,是著名几何学家卡拉比教授的最后一位博士生。2008年夏,他受唐纳森教授之邀共同研究卡勒-爱因斯坦度量的存在性,一直合作研究该课题至今。

陈秀雄教授曾应邀在第24届国际数学家大会上作45分钟邀请报告。2008年被聘为中国科大“长江学者讲座教授”,2009年被聘为中国科大首批“大师讲席(II)”教授,并入选国家第二批“千人计划”。他长期致力于中国科大的人才培养引进与国际学术交流,自2004年起,连续9年组织几何学暑期学校,于2006年在科大创办Pacific Rim Complex Geometry国际会议,为我校数学学科的人才培养和学术交流做出了贡献。他的学生孙崧、王兵等已在国际上成长为优秀的青年数学家。
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