小结果，大用处（二）

符号函数定义为
\[\mathrm{sgn}\ x=\begin{cases}1,&x>0,\\
0,&x=0,\\
-1,&x<0.\end{cases}\]

乍一看，它毫不起眼，不值得一提. 可是它却有大用处.  先叙述它的几个简单性质.

1) $\mathrm{sgn}\ (xy)=\mathrm{sgn}\ x\cdot \mathrm{sgn}\ y, \forall x,y\in\mathbb R$. 即它是一个可乘函数.

2) $-1\leqslant \mathrm{sgn}\ x\leqslant 1,\forall  x\in\mathbb R$.

3) $|x|=x\mathrm{sgn}\ x$, $x=|x|\mathrm{sgn}\ x,\forall x\in\mathbb R$.

4) $\int |x|^adx=\frac{|x|^{a+1}\mathrm{sgn}\ x}{a+1}+C, \int |x|^a\mathrm{sgn}\ x dx=\frac{|x|^{a+1}}{a+1}+C(a>0)$.

其中性质4) 可以用于简化某些带绝对值的定积分计算. 由于已经专文讨论过这个问题, 本文不再赘述. 以下用性质1)-3)来讨论一些问题.

例1) 证明三角不等式
\[\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|\leqslant \sum_{i=1}^n|x_i|.\]

证. 记$x=\sum\limits_{i=1}^n x_i$, 则
\[|x|=x\mathrm{sgn}\ x=\sum_{i=1}^nx_i \mathrm{sgn}\ x=\sum_{i=1}^n|x_i| \mathrm{sgn}\ x_i\mathrm{sgn}\ x
=\sum_{i=1}^n|x_i| \mathrm{sgn}\ (x_ix)\leqslant
\sum_{i=1}^n|x_i|.\]

例2) 证明积分不等式
\[\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leqslant \int_a^b |f(x)|dx.\]