调和级数发散的简短证明

定理 调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散.

证 若不然. 令$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}<+\infty$, 则

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=S-2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}=S-S=0,\]

这与

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots>0\]

矛盾. 故调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散.

类似可证： 若$0<\alpha<1$, 则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$发散.

还有一个简单证明：

还是反证法. 若收敛, 则注意到

\[S=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2}S+\sum_{1}^\infty\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}S=S,\]矛盾！