博士家园

小结果,大用处(三)

热度 7已有 791 次阅读2017-3-29 19:34 |个人分类:解题杂谈

如下不等式是大家都熟悉的:
\[\ln (1+x)<x,\forall x>0.\]
但能否灵活运用它就不好说了。其实,它的弱形式更好用:
\[\ln x<x,\forall x>0.\]
它的变形是
\[\ln x<\frac{x^\lambda}{\lambda},\forall x>0,\lambda>0.\]

例1 证明: 对任何$a>0$,$b>0$, 有$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^a x}{x^b}=0$.

取$\lambda =\frac{b}{2a}>0$, 则$\ln x<\frac{x^\lambda}{\lambda}=\frac{2a } {b}x^{\frac{b}{2a}}, \forall x>0 $, 故
\[\frac{\ln^a x}{x^b}<\left(\frac{2a}{b}\right)^a\frac{1}{x^{\frac{b}{2}}}\to 0(x\to +\infty).\]

例2 证明: 对任何$p>0$, 级数$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{\ln ^pn}$发散.

证   取$\lambda=\frac{1}{2p}>0$, 则$\ln n<\frac{n^\lambda}{\lambda}=2pn^{\frac{1}{2p}},\forall n\geqslant 2$. 从而
\[\frac{1}{\ln^pn}>\left(\frac{1}{2p}\right)^p\frac{1}{\sqrt{n}},\forall n\geqslant 2.\]
故级数发散.


路过

雷人
1

握手

鸡蛋
6

鲜花

刚表态过的朋友 (7 人)

发表评论 评论 (1 个评论)

回复 幽谷里的蓝蝴蝶 2017-10-8 00:35
厉害

关于我们|手机版|博士家园 ( 沪ICP备15045866号 )(沪公网安备沪公网安备 31011702001868号) 

GMT+8, 2018-8-15 04:16 , Processed in 1.062500 second(s), 18 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2004-2018 Comsenz Inc.

返回顶部