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小结果,大用处(二)

热度 15已有 972 次阅读2014-10-12 05:54 |个人分类:解题杂谈

符号函数定义为
\[\mathrm{sgn}\ x=\begin{cases}1,&x>0,\\
0,&x=0,\\
-1,&x<0.\end{cases}\]

乍一看,它毫不起眼,不值得一提. 可是它却有大用处.  先叙述它的几个简单性质.


1) $\mathrm{sgn}\ (xy)=\mathrm{sgn}\ x\cdot \mathrm{sgn}\ y, \forall x,y\in\mathbb R$. 即它是一个可乘函数.


2) $-1\leqslant \mathrm{sgn}\ x\leqslant 1,\forall  x\in\mathbb R$.


3) $|x|=x\mathrm{sgn}\ x$, $x=|x|\mathrm{sgn}\ x,\forall x\in\mathbb R$.


4) $\int |x|^adx=\frac{|x|^{a+1}\mathrm{sgn}\ x}{a+1}+C, \int |x|^a\mathrm{sgn}\ x dx=\frac{|x|^{a+1}}{a+1}+C(a>0)$.


其中性质4) 可以用于简化某些带绝对值的定积分计算. 由于已经专文讨论过这个问题, 本文不再赘述. 以下用性质1)-3)来讨论一些问题.


例1) 证明三角不等式
\[\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|\leqslant \sum_{i=1}^n|x_i|.\]

证. 记$x=\sum\limits_{i=1}^n x_i$, 则
\[|x|=x\mathrm{sgn}\ x=\sum_{i=1}^nx_i \mathrm{sgn}\ x=\sum_{i=1}^n|x_i| \mathrm{sgn}\ x_i\mathrm{sgn}\ x
=\sum_{i=1}^n|x_i| \mathrm{sgn}\ (x_ix)\leqslant
\sum_{i=1}^n|x_i|.\]


例2) 证明积分不等式
\[\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leqslant \int_a^b |f(x)|dx.\]




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发表评论 评论 (5 个评论)

回复 shuxue1985 2014-10-15 15:52
赞啊,好好看看。
回复 zwb565055403 2014-11-22 18:44
我在H老师的系列(1)下曾经评论 期待系列(2) 哈哈 已经过了一年了,H老师分析水平炉火纯青了 达到了“应用之妙 存乎一心” 希望看到H老师在教学科研中总结出更多的类似系列以飨学子。
回复 tsxbl416 2015-8-28 08:35
很实用的函数啊
回复 2px4 2016-8-18 20:10
妙.期待继续
回复 金童玉女 2017-12-2 23:26
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