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调和级数发散的简短证明

热度 12已有 732 次阅读2014-9-29 23:21 |个人分类:解题杂谈

定理 调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散.

若不然. 令$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}<+\infty$, 则

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=S-2\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}=S-S=0,\]

这与

\[\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots>0\]

矛盾. 故调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散.

类似可证: 若$0<\alpha<1$, 则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$发散.


还有一个简单证明:

还是反证法. 若收敛, 则注意到

\[S=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{2}S+\sum_{1}^\infty\frac{1}{2n-1}>\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}S=S,\]矛盾!


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发表评论 评论 (3 个评论)

回复 shuxue1985 2014-10-1 18:30
太赞了
回复 粟米麻鞋 2014-10-2 22:16
先假设绝对收敛,再任意调换顺序。
回复 ostg 2016-8-8 17:34
也可以用x>ln(1+x),x>0简短证明调和级数发散

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