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小结果, 大用处(一)

热度 12已有 692 次阅读2013-8-21 16:57 |个人分类:解题杂谈

一些不起眼的基本结果, 却能派上大用场.  比如,
\[\ln (1+x)\sim x, \sin x\sim x, \tan x\sim x, e^x-1\sim x(x\to 0). \]
 
例1  求极限
\[\lim_{x\to +\infty}x^2 \left((1+x)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}\right).\]
 
注意到
\[(1+x)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}=x^{\frac{1}{x}}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1\right)
\sim\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\sim\frac{1}{x^2}(x\to +\infty),\]

\[\lim_{x\to +\infty}x^2 \left((1+x)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}\right)=1.\]
2 设$a_1>0$, $p>0$,
\[a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^p},n=1,2,\ldots.\]
证明
\[a_n\sim\left(\frac{1}{pn}\right)^{\frac{1}{p}}(n\to\infty).\]
 
显然$\{a_n\}$严格递减地收敛于0.  注意到
\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a_{n+1}^p}-\frac{1}{a_n^p}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+a_n^p)^p-1}{a_n^p}=
\lim_{n\to\infty}\frac{p\ln (1+a_n^p)}{a_n^p}=p,\]
根据Stolz定理得到,
\[\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{a_n^p}}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a_{n+1}^p}-\frac{1}{a_n^p}\right)=p,\]
从而
\[a_n\sim \left(\frac{1}{pn}\right)^{\frac{1}{p}}(n\to\infty).\]
 

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发表评论 评论 (5 个评论)

回复 zwb565055403 2013-10-2 10:53
期待H老师的系列(2)
回复 tsxbl416 2015-8-28 08:41
例2太赞了
回复 TerenceYang 2015-10-17 17:13
例2好像是周民强老师编著的《数学分析习题演练》中的一道题,只不过那里是叫判定级数敛散,大赞H老师~!
回复 2px4 2016-8-18 20:06
太棒了,两题都好
回复 flyingJack 2017-3-28 09:08
H老师,能不能说下例2的思路,您是如何注意到第一个 lim (   ) =p的呢

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