博士家园

小结果,大用处(三)
Hansschwarzkopf 2017-3-29 19:34
如下不等式是大家都熟悉的: \ 但能否灵活运用它就不好说了。其实,它的弱形式更好用: \ 它的变形是 \ 例1 证明: 对任何$a0$,$b0$, 有$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln^a x}{x^b}=0$. 证 取$\lambda =\frac{b}{2a}0$, 则$\ln x\frac{x^\lambda}{\lambda}=\frac{2a } {b}x^{\frac{b}{2a}}, \f ...
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小结果,大用处(二)
Hansschwarzkopf 2014-10-12 05:54
符号函数定义为 \ 乍一看,它毫不起眼,不值得一提. 可是它却有大用处. 先叙述它的几个简单性质. 1) $\mathrm{sgn}\ (xy)=\mathrm{sgn}\ x\cdot \mathrm{sgn}\ y, \forall x,y\in\mathbb R$. 即它是一个可乘函数. 2) $-1\leqslant \mathrm{sgn}\ x\leqslant 1,\forall x\in\mathbb R$. 3) $|x|=x ...
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调和级数发散的简短证明
Hansschwarzkopf 2014-9-29 23:21
定理 调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散. 证 若不然. 令$S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}+\infty$, 则 \ 这与 \ 矛盾. 故调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$发散 . 类似可证: 若$0\alpha1$, 则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$发散. 还有一个 ...
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小结果, 大用处(一)
Hansschwarzkopf 2013-8-21 16:57
一些不起眼的基本结果, 却能派上大用场. 比如, \ 例1 求极限 \ 解 注意到 \ 故 \ 例 2 设$a_10$, $p0$, \ 证明 \ 证 显然$\{a_n\}$严格递减地收敛于0. 注意到 \ 根据Stolz定理得到, \ 从而 \ ...
个人分类: 解题杂谈|2418 次阅读|5 个评论 热度 13

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