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何承天不等式

已有 520 次阅读2015-1-19 15:02 |个人分类:读书笔记

何承天不等式:

\[\frac{a}{b} \leq \frac{ma+nd}{mb+nc}\leq \frac{d}{c}\]

其中$a,b,c,d,m,n \in \mathbb{R}$.

 

Proof: 这是一个有重要应用的不等式(变分迭代算法中)

先证明一个简单情况$m=n=1$时,设 $H(m,n)=\frac{ma+nd}{mb+nc}$

\[H(1,1)=\frac{b+d}{a+c}=\frac{b}{a}\frac{1+d/b}{1+c/a}\geq \frac{b}{a}\]

同理可得$H(1,1)\geq \frac{d}{c}$.

由原式

\[\frac{mb}{na}\leq \frac{nd}{nc}\]

\[\frac{a}{b} \leq \frac{ma+nd}{mb+nc}\leq \frac{d}{c}\]


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