博士家园

和黎曼函数相关的积分

热度 1已有 192 次阅读2015-1-19 14:57 |个人分类:读书笔记

计算积分

\[\int_{0}^{1}x\left[\frac{1}{x}\right]dx=\frac{\pi^{2}}{12}\]

 

解:

\begin{align*}\int_{0}^{1}x\left[\frac{1}{x}\right]dx&=-\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n+1}}x\left[\frac{1}{x}\right]dx \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2}\left[\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right]\\&=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}})\\&=\frac{\pi ^{2}}{12}\end{align*}

 

对于 $s>1$,同样的方法可以计算
$$\zeta(s)=s\int_{1}^{\infty} \frac{[ x ]}{x^{s+1}} dx$$


路过

雷人

握手

鸡蛋
1

鲜花

刚表态过的朋友 (1 人)

评论 (0 个评论)

关于我们|手机版|博士家园 ( 沪ICP备15045866号-1 )(沪公网安备沪公网安备 31011702001868号) 

GMT+8, 2020-2-23 16:29 , Processed in 1.046875 second(s), 17 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2004-2020 Comsenz Inc.

返回顶部