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一道似乎不好下手的高代题

热度 6已有 345 次阅读2017-12-10 19:45 |个人分类:奇妙数学

此题是我发在论坛里面的一个问题,在论坛好友jiangjun7116的指导下,现在把过程完整的总结分享给大家。

设$A$为$n$阶实对称正定矩阵,$\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n \in \mathbb{R}^n$是$n$个关于$A$共轭的非零列向量,即$\beta_i\neq 0(i=1,2,\cdots,n)$,且$\beta_i ^TA\beta_j=0 (i\neq j;i,j=1,2,\cdots,n)$,证明:$$A=\sum_{i=1}^n\frac{A\beta_i\beta_i^TA}{\beta_i^TA\beta_i}和A^{-1}=\sum_{i=1}^n\frac{\beta_i\beta_i^T}{\beta_i^TA\beta_i}$$

证明:根据题目注意到$$\sum_{i=1}^n\frac{A\beta_i\beta_i^TA}{\beta_i^TA\beta_i}\beta_j=A\beta_j ,\sum_{i=1}^n\frac{\beta_i\beta_i^T}{\beta_i^TA\beta_i}A\beta_j=\beta_j$$
$$(因为i\neq j时\beta_i ^TA\beta_j=0,所以累加里面只有i=j那一项不等于0)$$

下证$\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n是一组基,即\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n是线性无关的$
假设存在一组实数$k_1,k_2,\cdots ,k_n使得k_1\beta_1+k_2\beta_2+\cdots +k_n\beta_n=0,式子两边左乘\beta_i^TA,$
$可以得出k_i\beta_i^TA\beta_i=0,然而A是实对称的正定矩阵且\beta_i \neq 0,可以得出k_i=0(i=1,2,\cdots ,n)$
$所以\beta_1,\beta_2,\cdots ,\beta_n是一组线性无关的向量组$
$$\Rightarrow (\sum_{i=1}^n\frac{A\beta_i\beta_i^TA}{\beta_i^TA\beta_i}-A)X=0, (\sum_{i=1}^n\frac{\beta_i\beta_i^T}{\beta_i^TA\beta_i}A-E)X=0有n个线性无关的解$$
$$\Rightarrow \sum_{i=1}^n\frac{A\beta_i\beta_i^TA}{\beta_i^TA\beta_i}-A=0, \sum_{i=1}^n\frac{\beta_i\beta_i^T}{\beta_i^TA\beta_i}A-E=0$$
$$即 \sum_{i=1}^n\frac{A\beta_i\beta_i^TA}{\beta_i^TA\beta_i}=A, \sum_{i=1}^n\frac{\beta_i\beta_i^T}{\beta_i^TA\beta_i}A=E \Rightarrow  \sum_{i=1}^n\frac{\beta_i\beta_i^T}{\beta_i^TA\beta_i}=A^{-1}$$


“许多问题解决之后都会一阵暗爽,这可能就是我喜欢数学的原因吧!”
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