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[数学分析] 求积分的渐近逼近值

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发表于 2022-2-8 15:13:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
$I(n)=\int_0^{\pi/2}\,\sin^n(x)\,dx$ for $n\rightarrow\infty$
发表于 2022-2-12 04:05:40 | 显示全部楼层
渐近逼近值是什么东东?
发表于 2022-2-15 10:27:03 | 显示全部楼层
解:
            由积分公式得
                                   $\displaystyle I(2n)=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2},$

                                    $\displaystyle I(2n+1)=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}.$

               利用积分变换,并对分子分母分别利用stolz公式:
                                    $\begin{align*}\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{I(2n)}&=\lim_{n \to \infty }\frac{e^{\frac{1}{n}\ln(2n-1)!!}}{e^{\frac{1}{n}\ln(2n)!!}}\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{e^{\ln(2n-1)}}{e^{\ln(2n)}}\\\\&=\lim_{n \to \infty }\frac{2n-1}{2n}\\\\&=1.\end{align*}$
                                    $\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty }I(2n)=1.$
                  同理,可知
                                     $\displaystyle \lim_{n \to \infty }I(2n+1)=\lim_{n \to \infty }\frac{2n}{2n+1}=1.$

                             因此
                                       $\displaystyle \lim_{n \to \infty }I(n)=1.$
发表于 2022-2-17 20:54:22 | 显示全部楼层

令$g(x)=e^{\frac{x^2}{2}}\cos x$, 则$g'(x)=e^{\frac{x^2}{2}}(x\cos
x-\sin x)<0$,$\forall x\in (0,\frac{\pi}{2})$, 故$g(x)<g(0)=1$,
故$\cos x<e^{-\frac{x^2}{2}}$, $\forall x\in
(0,\frac{\pi}{2})$,从而
\[I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n
xdx<\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{nx^2}{2}}dx<\int_0^{+\infty}e^{-\frac{nx^2}{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2n}}\to
0(n\to\infty).\]
 楼主| 发表于 2022-2-22 09:44:25 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2022-2-12 04:05
渐近逼近值是什么东东?

Asymptotic approximation.
 楼主| 发表于 2022-2-22 09:46:48 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2022-2-17 20:54
令g(x)=e^{\frac{x^2}{2}}\cos x, 则g'(x)=e^{\frac{x^2}{2}}(x\cos
x-\sin x)

谢谢你的回答。这个结果和我用的另一个公式是一样的,最后的main Asymptotic term的确是$\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$。

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