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[高等代数] 关于一种求广义逆简便方法的证明

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发表于 2021-1-20 23:14:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
10金币
本人为理工科硕士,下面说的广义逆是工科里的定义,可能和数学里面的概念有些不同
有一种求解3阶矩阵阵广义逆的简便方法,4阶也可以,4阶以上就不行了,因为3阶非奇异矩阵的逆矩阵可以容易求出来
这是方法据说是某个人发现了,我想知道有没有严格证明

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发表于 2021-1-22 14:46:16 | 显示全部楼层
关于矩阵的广义逆,有一些已有的结果,看看能否满足要求

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 楼主| 发表于 2021-1-28 16:33:12 | 显示全部楼层
hwiechern 发表于 2021-1-22 14:46
关于矩阵的广义逆,有一些已有的结果,看看能否满足要求

相对题目给出了一种求减号逆的某个特解简便方法,我想问下严重的证明是怎么样的。
发表于 2021-2-3 22:18:27 | 显示全部楼层
Aros 发表于 2021-1-28 16:33
相对题目给出了一种求减号逆的某个特解简便方法,我想问下严重的证明是怎么样的。 ...

试一下
A =
     1     2     3
     2     1     1
     3     1     4
去掉3行3列
 楼主| 发表于 2021-2-7 11:11:12 | 显示全部楼层
hwiechern 发表于 2021-2-3 22:18
试一下
A =
     1     2     3

要求是非满秩矩阵,满秩矩阵直接求逆就行了
发表于 2021-2-9 21:19:27 | 显示全部楼层
Aros 发表于 2021-2-7 11:11
要求是非满秩矩阵,满秩矩阵直接求逆就行了

这的话,也就是一般意义下的减号逆$A^-$。

若$r(A)=r$,并且可逆矩阵$P_m$和$Q_n$使得$A$等价于$\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$,即

$$PAQ=\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

可以验证所有的$A^-$都可以写成

$$A^- = Q\begin{pmatrix} E_r & X \\ Y & Z \\ \end{pmatrix}P$$

其中最简单的就是$Q\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}P$,也就是前面给出的形式。
发表于 2021-2-11 20:51:09 | 显示全部楼层


楼主说的就是矩阵的(1)逆,是广义逆中的一种,不难理解,随便哪本广义逆的参考书中都有。

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