博士家园

发表于 2020-11-26 22:24:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
求矩阵$A$满足$A$的伴随矩阵是 $\pmatrix{
1&1&1 \cr
1 &1 &1\cr 1 &1 &1
}$
发表于 2020-12-2 17:20:50 | 显示全部楼层
设 $A$ 的伴随矩阵为 $B$, 由于 $rank(B)=1$, 从而 $r(A)=2$.
又因为 $AB=|A|I_3=0$, 其中 $I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵. 从而 $B^TA^T=0$.
求得线性方程组 $B^T x=0$ 的基础解系为 $x_1=(1,0,-1)^T$ 和 $x_2=(1,-1,0)^T$.
从而 $A^T$ 的列为 $x_1$ 和 $x_2$ 的线性组合, 即
$$A=\pmatrix{1&0&-1\\1&-1&0\\2&-1&-1}.$$
发表于 2020-12-30 10:53:03 | 显示全部楼层
niuyuqi 发表于 2020-12-2 17:20
设 A 的伴随矩阵为 B, 由于 rank(B)=1, 从而 r(A)=2.
又因为 AB=|A|I_3=0, 其中 I_n 为 n 阶 ...

验算不对。其实可以推出A是对称的。下面是2个解:
$$
\left( \begin{matrix}
   1 & 0 & -1 \\
   0 & 1 & -1 \\
   -1 & -1 & 2
  \end{matrix}\right) \tag{1}
$$

$$
\left( \begin{matrix}
   -1 & 0 & 1 \\
   0 & -1 & 1 \\
   1 & 1 & -2
  \end{matrix}\right) \tag{1}
$$

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