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[高等代数] 矩阵的行列式一题,求高手帮忙

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发表于 2020-11-26 20:46:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
$AJA'=J$,$J= \pmatrix{
0& E_n&\cr -E_n & 0
}$,则$|A|=1$.
发表于 2020-11-29 11:28:35 | 显示全部楼层
证明:情形一,设$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$,则$AJA'=J$等价于
$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-bc+ad\\-ad+bc&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$
所以就有$ad-bc=1$,因此$|A|=ad-bc=1$
情形二 A是一般的$2n\times 2n$矩阵,设$A==\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}$,则$AJA'=J$等价于
$$\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&E_n\\-E_n&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n&c_n\\b_n&d_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-b_nc_n+a_nd_n\\-a_nd_n+b_nc_n&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&E_n\\-E_n&0\end{pmatrix}$$
所以就有$a_nd_n-b_nc_n=E_n$,因此就有
$$|A|=\begin{vmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{vmatrix}=|a_nd_n-b_nc_n|=|E_n|=1$$

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