博士家园

查看: 280|回复: 3

[数学分析] 请教欧拉常数的等价证明

[复制链接]
发表于 2020-9-20 10:00:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明欧拉常数为:
$$\gamma=\int_0^{\infty} (\frac{1}{1+x}-e^{-x})\frac{dx}{x}$$
发表于 2020-9-23 10:35:44 | 显示全部楼层
发表于 2020-9-24 08:48:27 | 显示全部楼层


证明

\[\int_0^\infty
\left(\frac{1}{1+x}-e^{-x}\right)\frac{dx}{x}=\lim_{\varepsilon\to
0^+}\int_\varepsilon^\infty
\left(\frac{1}{1+x}-e^{-x}\right)\frac{dx}{x},\] 其中
\[\int_\varepsilon^\infty\frac{dx}{x(1+x)}=\ln (1+\varepsilon )-\ln \varepsilon=-\ln \varepsilon+o(1)(\varepsilon\to 0^+),\]
\[\int_\varepsilon^\infty\frac{e^{-x}}{x}dx=\int_\varepsilon^\infty e^{-x}\ln xdx-e^{-\varepsilon}\ln\varepsilon =\int_0^\infty e^{-x}\ln xdx-\ln\varepsilon +o(1)(\varepsilon\to 0^+).\]

\[\int_0^{\infty}
\left(\frac{1}{1+x}-e^{-x}\right)\frac{dx}{x}=-\int_0^\infty
e^{-x}\ln xdx.\] 以下是熟知的: \[\gamma
=-\Gamma'(1)=-\int_0^\infty e^{-x}\ln xdx.\] 故最后得到
\[\gamma=\int_0^{\infty}
\left(\frac{1}{1+x}-e^{-x}\right)\frac{dx}{x}.\]
 楼主| 发表于 2020-10-8 11:10:25 | 显示全部楼层

明白了,谢谢!

关于我们|手机版|博士家园 ( 沪ICP备15045866号-1 )(沪公网安备沪公网安备 31011702001868号) 

GMT+8, 2020-10-31 17:41 , Processed in 1.171875 second(s), 16 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2004-2020 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表