博士家园

发表于 2020-3-17 22:43:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
一个隐数列的极限问题:2020年哈尔滨工程大学考研试题:

题目:设$f_n(x)=\sin x+\sin ^2 x+\cdots +\sin^n x$, $n\ge 2$.

(1)        证明:$f_n(x)=1$在区间$(0,\pi/2)$有且只有一个根$x_n$。

(2)        求极限$\lim\limits_{n\to \infty}x_n$.

解:(1)对于$n\ge 2$, 因为
$$
f_n\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{2}\right)^n
$$
$$
<\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.
$$
令$\alpha=\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}$. 则
$$
\alpha\in (\pi/6,\pi/2),\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
$$
又因为
$$
f_n(\alpha)\ge \sin \alpha+\sin^2\alpha
$$
$$
=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2=1.
$$
因为函数$f_n(x)$在区间$[\pi/6,\alpha]$上连续,所以存在$x_n\in [\pi/6,\alpha]$使得$f_n(x_n)=1$. 则$f_n(x)=1$在区间$(0,\pi/2)$至少有一个根$x_n$。

因为
$$
f_n'(x)=\cos x+2\sin x\cos x+\cdots+n\sin^{n-1}x\cos x>0,x\in (\pi/6,\alpha),
$$
故$f_n(x)=1$在区间$(0,\pi/2)$有且只有一个根$x_n$。

(2)在区间$[\pi/6,\alpha]$上函数列
$$
f_n(x)=\frac{\sin x(1-\sin ^nx)}{1-\sin x}
$$
满足
$$
\left|f_n(x)-\frac{\sin x}{1-\sin x}\right|=\frac{\sin ^{n+1}x}{1-\sin x}
$$
$$
\le \frac{\sin ^{n+1}\alpha}{1-\sin \pi/6}=2\sin^{n+1}\alpha\to 0,n\to \infty.
$$
所以
函数列在区间$[\pi/6,\alpha]$上一致收敛,$f_n(x_n)=1$是连续函数,所以
$$
\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x_n)=1.
$$

$$
\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin x_n(1-\sin ^nx_n)}{1-\sin x_n}=1.
$$
因为$x_n\in (\pi/6,\alpha)$, 所以
$$
\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin x_n}{1-\sin x_n}=1.
$$
所以
$\lim\limits_{n\to \infty}\sin x_n=\frac{1}{2}.$
因为$\sin x$在区间$(0,\pi/2)$是严格单调连续函数,因此
$\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\frac{\pi}{6}$.
【解题完毕】


注记:该题是送分题。陈纪修编《数学分析》第五章习题:对每一个$n\ge 2$的整数,证明方程
$$
x^n+x^{n-1}+\cdots+x=1
$$
在区间$(0,1)$上有且仅有一个根$x_n$并求极限$\lim\limits_{n\to \infty}x_n$.










发表于 2020-3-20 21:06:01 | 显示全部楼层
(1)令$t=\sin{x},\text{则}t\in(0,1)$,于是
$$f_n(x)=f_n(t)=t+t^2+...+t^n=\frac{t(1-t^n)}{1-t}$$
易知,对于固定的$n,f_n(t)\text{为单调增函数}$,又
$$\lim_{t\to 1}f_n(t)=\lim_{t\to 1}\left[(t^n-1)+nt^n\right]=n\geq2$$
由连续函数介值定理,对于$0<f_n(t)\leq2\leq n,t\in(0,1)$,存在$t_0\in(1,0),f_n(t_0)=1$,又因为
$f_n(t)\text{为单调增函数}$,故$f_n(t)=1$,只有唯一解$t=t_0$,进而推知只有唯一的$x_n=\arcsin{t_0},x_n\in(0,\frac{\pi}{2})$使$f_n(x)=1$.

(2)由
$$\lim_{n\to \infty}f_n(t)=\frac{t}{1-t}=1,\text{解得}t=\frac{1}{2}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}{t_n}=\frac{1}{2}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=\arcsin{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{6}$$

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