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[原创解答] 中国科学院大学2020年考研试题

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发表于 2019-12-24 21:31:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
中国科学院大学2019年数学分析考研试题

1. (15分)
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[5]{1+3x^4}-\sqrt{1-2x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}.$$

2. (15分)设$x_0=\alpha,x_1=\beta,x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n
+\frac{1}{3}x_{n-1}\,(n\geq 1)$.证明:数列$\{x_n\}$收敛,并求出极限值.

3. (15分) 判断下列极限是否存在,并说明理由.
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{\sin x}\sin\frac{1}{x}\cos t^2dt.\]

4.  (15分) 设函数$f(x)$在区间$[0,n]$ ($n$是一个正整数)上连续,并且$f(0)=f(n)$.证明:存在点$x_0\in [0,n-1]$,使得$f(x_0)=f(x_0+1)$.

5. (15分,第一小题8分,第二小题7分) (1) $I_1=\int_{0}^{1}\frac{x^b-x^a}{\ln x}\,\mathrm{d}x\,(a,b>0)$.

(2) $I_2=\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}\,\mathrm{d}x$.

6.  (15分) 设$\mathscr{D}$是$Oxy$平面上由曲线$y=\sqrt{x}$和直线$y=x$所围成的图形,求$\mathscr{D}$绕直线$y=x$旋转产生的旋转体体积.

7. (15分) 求函数$f(x,y,z)=\ln x+\ln y+3\ln z$在球面$x^2+y^2+z^2=5R^2\,(x,y,z>0)$上的最大值.

8. (15分)证明:
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\pi<
\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x-x^2}}\,\mathrm{d}x<\pi.\]

9. (15分)讨论级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{n}x^n$的收敛性.

10. (15分)证明
\[\left|\int_{100}^{200}\frac{x^3}{x^4+x-1}\,\mathrm{d}x-
\ln 2\right|<\frac{1}{3}\cdot 10^{-6}.\]




中国科学院大学2019年高等代数考研试题


请考生在第8和第9大题中任选一道作答.

1. (20分)若整系数多项式$f(x)$有根$p/q$,这里$p,q$是互素的整数,证明:

     (1) $(q-p)\mid f(1),(q+p)\mid f(-1)$; \quad (2)对任意整数$m$有$(mq-p)\mid f(m)$.

2. (18分) 以$\det (M)$记矩阵$M$的行列式,证明下列结论:
(1) 设$A,B$都是$n$阶实方阵,则
  \[\det\begin{pmatrix}
      A & B \\
      -B & A
    \end{pmatrix}=\det\left(A+\sqrt{-1}B\right)\cdot \det\left(A-\sqrt{-1}B\right).\]

(2) 设$A$是$m\times n$矩阵, $B$是$n\times m$矩阵, $I_k$表示$k$阶单位矩阵,则$\lambda^n\cdot \det\left(\lambda I_m-AB\right)=\lambda^m\cdot \det\left(\lambda I_n-BA\right)$, ($\lambda$是复数).

3. (18分) 已知$n$阶方阵$A$满足$A^2=I_n$,问: 秩$(I_n+A)+$秩$(I_n-A)=$?并证明你的答案.

4.  (20分) 设$A$是$n$阶实对称正定矩阵, $B$是$n$阶实对称半正定矩阵.

(1) 证明: $\det(A+B)\geq\det(A)+\det(B)$;

(2) 当$n\geq 2$时,问:在什么条件下有$\det(A+B)>\det(A)+\det(B)$,并证明之.

5. (18分) 设$n$阶复方阵$A$的全部特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$,求$A$的伴随矩阵$A^{\ast}$的全部特征值.

6. (18分) 已知实对称矩阵
\[A=\left( \begin{matrix}
        2&                2&                -2\\
        2&                5&                -4\\
        -2&                -4&                5\\
\end{matrix} \right).\]
(1) 求正交矩阵$Q$,使得$Q^{-1}AQ$为对角形矩阵.

(2) 求解矩阵方程$X^2=A$.

7. (18分)设$\lambda$是非零复数, $k$为正整数, $J_n(\lambda)$表示特征值为$\lambda$的$n$阶若当块.
(1) 求$(J_n(\lambda))^k$的若当标准形;

(2) 证明: $J_n(\lambda)$有$k$次方根,即存在$n$阶复方阵$B$使得$B^k=J_n(\lambda)$;

(3) 证明:任意$n$阶可逆复方阵$A$都有$k$次方根.

8. (20分) $n$阶实方阵$P$称为正交矩阵,如果$PP^t=I_n$; $n$阶实方阵$R$称为反射矩阵,如果$R$正交相似于对角矩阵$\mathrm{diag}(-1,1,\cdots,1)$.证明:每个二阶正交矩阵都能写成反射矩阵的乘积.

9. (20分) $R[x]_n$表示实数域$R$上所有次数小于$n\,(>1)$的多项式之集,它是实数域上$n$维线性空间.求导算子
    \[D:Df(x)=f'(x),\quad \forall f(x)\in R[x]_n\]
    是$R[x]_n$上的线性变换.
(1) 对于任意实数$a$,证明平移算子\[S_a:S_af(x)=f(x+a),\quad \forall f(x)\in R[x]_n\]
    是$R[x]_n$上的线性变换,并且存在一个多项式$g(x)\in R[x]_n$,使得$S_a=g(D)$.

(2) 分别求出$S_a,D$在基$1,x,x^2/2!,\cdots,x^{n-1}/(n-1)!$下的矩阵.



附上几道题的解答,算是抛砖引玉!

(2020年中国科学院大学数分考研)证明
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\pi<\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x-x^2}}\,\mathrm{d}x<\pi.\]
注意到
\[\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\,\mathrm{d}x=\pi,\quad \frac{3}{4}\leq x^2-x+1= \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\leq 1,x\in [0,1].\]
因此
\[\frac{\sqrt{3}}{2}\pi=\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{\frac{3}{4}}{x-x^2}}\,\mathrm{d}x<\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{x^2-x+1}{x-x^2}}\,\mathrm{d}x
<\int_{0}^{1}\sqrt{\frac{1}{x-x^2}}\,\mathrm{d}x=\pi.\]

(2020年中国科学院大学数分考研)证明
\[\left|\int_{100}^{200}\frac{x^3}{x^4+x-1}\,\mathrm{d}x-\ln 2\right|<\frac{1}{3}\cdot 10^{-6}.\]
由于
\begin{align*}
\left|\int_{100}^{200}\frac{x^3}{x^4+x-1}\,\mathrm{d}x-\ln 2\right|&=\left|\int_{100}^{200}\frac{x^3}{x^4+x-1}\,\mathrm{d}x-
\int_{100}^{200}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\right|\\
&=\int_{100}^{200}\frac{x-1}{x\left(x^4+x-1\right)}\,\mathrm{d}x
<\int_{100}^{200}\frac{x}{x\cdot x^4}\,\mathrm{d}x=\int_{100}^{200}\frac{1}{x^4}\,\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{100^3}-\frac{1}{200^3}\right)<\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{100^3}=\frac{1}{3}\cdot 10^{-6}.
\end{align*}

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