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[高等代数] 求解几道高代题

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发表于 2019-11-28 23:29:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.若$n$阶实方阵$A$的极分解唯一,证明:$A$可逆。

2.$S_1$与$S_2$是n阶对称矩阵,$S_1$半正定,且$det|S_1+iS_2|=0$,其中$i^2=-1$,证明:存在非零实向量$x\in R^n$,满足 $x(S_1+iS_2)=0.$

3.设$\lambda_1(A),\lambda_2(A),\cdots,\lambda_n(A)$是$n$阶实方阵$A=(a_{ij})$的特征值,证明schur不等式$$\sum_{j=1}^n(Re\lambda_{j}(A))^2\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}|\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}|^2\\ \sum_{j=1}^n(Im\lambda_{j}(A))^2\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}|\frac{a_{ij}-a_{ji}}{2}|^2.$$

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