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[高等代数] 求 多项式

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发表于 2019-11-21 09:42:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
$f(x^2)=f(x)f(x+1)$.求次数大于0的多项式$f(x)$
发表于 2019-11-21 11:12:59 | 显示全部楼层

RE: 求 多项式

若 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的根, 则
  $$f(\alpha^2)=f(\alpha)f(\alpha+1)=0,~~f((\alpha-1)^2)=f(\alpha-1)f(\alpha)=0.$$
  表明 $\alpha^2$ 和 $(\alpha-1)^2$ 也是 $f(x)$ 的根, 重复该过程可知 $\alpha,\alpha^2,\alpha^4,\cdots$ 都是 $f(x)$ 的根.
  但 $f(x)$ 的根只有有限个, 故必然存在 $s>t$ 使得 $\alpha^{2^s}=\alpha^{2^t}$. 因此 $\alpha=0$ 或 $|\alpha|=1$.
  
首先 $\cos\theta+{\rm i}\sin\theta$ ($0<\theta<2\pi$) 不可能是 $f(x)$ 的根, 否则  $\alpha=(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta-1)^2\ne0$
  也是 $f(x)$ 的根, 且 $|\alpha|=1$, 从而得 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 或 $\theta=\frac{5\pi}{3}$, 即 $\alpha=-\frac12\pm\frac{\sqrt{3}}{2}{\rm i}$. 又 $(\alpha-1)^2$ 也是 $f(x)$ 的根, 但 $|\alpha-1|\ne1$ 或 $0$, 矛盾. 故 $f(x)$ 的根只能是0 或1.
  
又 $f(x)$的根不能全为0, 否则$f(x)=x^m$, 由条件可得 $x^{2m}=x^m(x+1)^m$, 矛盾. $f(x)$ 的根也不能全为1, 否则 $f(x)=(x-1)^m$, 又有 $(x^2-1)^m=(x-1)^mx^m$, 矛盾. 故 $f(x)$ 的根有且只有0和1. 设 $f(x)=ax^m(x-1)^n$, 则
  $$ax^{2m}(x^2-1)^n=a^2x^{m+n}(x-1)^n(x+1)^m.$$
  可得 $a=1$, $m=n$. 故 $f(x)=x^n(x-1)^n$, $n$ 为自然数.

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