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[数学分析] 考研题,求高阶导数

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发表于 2019-11-19 10:28:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
设$f(x)=\frac{x^4}{1+x^3}$,求$f^{(n)}(0)$
发表于 2019-11-20 15:10:54 | 显示全部楼层
$\frac{x^4}{1+x^3}=x-\frac{x}{1+x^3}$再结合泰勒级数!
发表于 2019-11-20 15:12:15 | 显示全部楼层
部分分式分解+Taylor 级数!
发表于 2019-11-21 07:23:26 | 显示全部楼层
将$f(x)$化为如下的形式,再利用已知展开公式

                                     $f(x)=\frac{x^4}{1+x^3}=x-\frac{x}{1+x^3}=x(1-\frac{1}{1+x^3}).$



发表于 2019-11-21 10:59:29 | 显示全部楼层
部分分式分解+泰勒级数展开式!
 楼主| 发表于 2019-11-21 13:09:48 | 显示全部楼层
2px4 发表于 2019-11-21 07:23
将f(x)化为如下的形式,再利用已知展开公式

                                     f(x)=\frac{x^4}{1+ ...


貌似不行,或这样做非常复杂。
看题目是求在0点的导数值,不要求求出通式。设$y=\frac{x^4}{1+x^3}$,则
$$y(1+x^3)=x^4$$
左边用莱布尼茨公式求出$n$次导数,右边$n$次导数后为$0$,解出$y^(n)$和$y^(n-3)$的递推公式,
计算了一下,结果应该为$0$

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