博士家园

发表于 2019-10-28 07:09:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
问题:设数列
\[x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}-\sqrt{2},\cdots\]
\[x_{n+1}=\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right) x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n}(n\geq 1)\]

试证:(1)\[\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0\]

(2)\[\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n=-\frac{1}{8}\]

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 楼主| 发表于 2019-10-28 07:14:48 | 显示全部楼层
求教,希望大神多多指教!
发表于 2019-10-29 20:33:02 | 显示全部楼层
注意到
\begin{align*}
&\quad\quad x_{n+1}=\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right) x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n} \\
&\Leftrightarrow x_{n+1}=\sqrt{n}-\sqrt{n+1}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right) x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n} \\
&\Leftrightarrow x_{n+1}+\sqrt{n+1}=\sqrt{n}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right) x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n} \\
&\Leftrightarrow x_{n+1}+\sqrt{n+1}=\frac{n+\frac{1}{2}\sqrt{n}+\sqrt{n}x_n+\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right) x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n} \\
&\Leftrightarrow x_{n+1}+\sqrt{n+1}=\frac{n+\frac{1}{2}\sqrt{n}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n} \\
&\Leftrightarrow x_{n+1}+\sqrt{n+1}=\frac{n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n}+\frac{1}{2} \\
&\Leftrightarrow x_{n+1}+\sqrt{n+1}+\frac{1}{2}=\frac{n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n}+1
\end{align*}
所以令$t_n=\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n$,则式子化简为
\[t_{n+1}=1+\dfrac{n}{t_n}\]
其中$t_1=1$

而这就是熊赛考过的题目,这里引用出题人白朗的解答即可,链接如下,化简的题目是链接中的问题2

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... 0feedd3ba3a2657118f
 楼主| 发表于 2019-10-30 08:57:29 | 显示全部楼层
十三幺爱3 发表于 2019-10-29 20:33
注意到
\begin{align*}
&\quad\quad x_{n+1}=\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sq ...

谢谢,大神好巧妙的解决方法
 楼主| 发表于 2019-11-1 07:38:24 | 显示全部楼层
十三幺爱3 发表于 2019-10-29 20:33
注意到
\begin{align*}
&\quad\quad x_{n+1}=\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sq ...

本题可以通过证明极限$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n$和极限$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n$均存在有限而获证吗?
 楼主| 发表于 2019-11-2 06:01:50 | 显示全部楼层
问题归结为极限$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n=x$存在有限的证明。
事实上,若果已经证明极限$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n=x$存在有限,则易得极限$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0$,而且

$$x=\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n+1}x_{n+1}$$
$$=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}\left(\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\frac{\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right)x_n}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n}\right)\right)$$
$$=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n+1}\frac{-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}+\frac{1}{2}+x_n}\left(\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right)x_n \right) \right)$$
$$=-\frac{1}{2}+\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{4}-\left(\sqrt{n}-\frac{1}{2}\right)x_n\right)$$
$$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to+\infty}x_n$$
$$=-\frac{1}{4}-x$$

所以就有$$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{n}x_n=x=-\frac{1}{8}.$$

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