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[高等代数] 一道矩阵方程题

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发表于 2019-9-13 14:35:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
请教各位一道高代题:

设$A_1,A_2,B$是$n$阶复矩阵,且以下两个矩阵相似:$$
M_1=\left( \begin{matrix}
        A_1&                O\\
        O&                A_2\\
\end{matrix} \right) \qquad M_2=\left( \begin{matrix}
        A_1&                B\\
        O&                A_2\\
\end{matrix} \right)
$$
证明矩阵方程$A_1X-XA_2=B$有解.

我的想法是,由于以下等式成立:$$\left( \begin{matrix}
        I&                -X\\
        0&                I\\
\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}
        A_1&                0\\
        0&                A_2\\
\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}
        I&                X\\
        0&                I\\
\end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix}
        A_1&                A_1X-XA_2\\
        0&                A_2\\
\end{matrix} \right) :=M_3
$$因此我们只要证明如果命题不成立,对于任意的矩阵$X$,$M_3$不会相似于$M_1$,从而矛盾.

但是后续不太清楚了,希望有高手指点一下.
发表于 2019-9-15 20:23:26 | 显示全部楼层
南开大学2019年高等代数考研试题讲解, 1.5 G.
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