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[数学分析] 一道不等式放缩题

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发表于 2019-8-8 19:05:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
当 $ n \geq 3$
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}-\frac{3}{2n}<(1+\frac{1}{n})^n<\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$




这个不等式右边很好放缩, 关键是左边如何放缩呢?

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发表于 2019-8-14 16:45:19 | 显示全部楼层
中国科技大学课后习题里的问题,书后面有提示,按照提示做就可以!
 楼主| 发表于 2019-8-17 10:25:22 | 显示全部楼层
关键是看了提示也不会写啊,。。。。。。。
发表于 2019-10-31 09:10:17 | 显示全部楼层
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

$$=\sum\limits_{k=0}^nC_n^k\frac{1}{n^k}$$

$$=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}$$

$$=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{n!}{(n-k)!n^k}$$

$$=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k-1}}$$

$$<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$$
发表于 2019-11-4 13:35:59 | 显示全部楼层
\[\begin{align*}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\\
&>&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(1-\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{k-1}{n}\right)\right)\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1+2+\cdots+k-1}{n}\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{k(k-1)}{2n}\\
&=&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=2}^n\frac{1}{(k-2)!}\\
&>&\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}-\frac{3}{2n}\\
\end{align*}\]

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