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[数学分析] 求E+aA的行列式在a=0处的导数

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发表于 2019-7-31 17:24:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
不用特征值的方法$\mid aA+E\mid =\Pi (1+a\lambda _{i} )=1+a*\Sigma \lambda _{i} +o(a)$
用分析方法求导数怎么做呢?
发表于 2019-8-7 16:10:38 | 显示全部楼层
把 $|E+tA|$ 展开(Laplace 展开)
$$|E+tA|=|E|+\sum_{i=1}^{n} t a_{ii}+o(t^2)=|E|+t \mathrm{Trace}(A)+o(t^2)$$
展开的是一个 $n$ 次的多项式,系数是 $A$ 的主子式。
 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2019-8-7 16:10
把 |E+tA| 展开(Laplace 展开)
|E+tA|=|E|+\sum_{i=1}^{n} t a_{ii}+o(t^2)=|E|+t \mathrm{Trace}(A) ...

怎么展开,能说的详细一点吗?
发表于 3 天前 | 显示全部楼层
挤牙膏 发表于 2019-8-18 22:06
怎么展开,能说的详细一点吗?

最简单就是,$|E+t A|$ 的求导等于分别对每行求导再令 $t=0$ 的这 $n$ 个行列式加起来。

这 $n$ 个行列式的值分别是 $a_{ii},n=1,2,\cdots,n$

























 楼主| 发表于 前天 16:25 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2019-8-20 16:58
最简单就是,|E+t A| 的求导等于分别对每行求导再令 t=0 的这 n 个行列式加起来。

这 n 个行列 ...

明白了,谢谢。

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