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[高等代数] 相似于正交阵

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发表于 2019-6-14 11:53:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
设 $A$ 是一个 $n$ 阶实矩阵,满足 $A^k=E$. 证明存在一个可逆实矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为正交阵. 各位有没有简单方法处理?
发表于 2021-10-16 15:48:14 | 显示全部楼层
没有简单方法,不过思路是简单的。

第一,矩阵的k次方是单位矩阵,所以矩阵可以对角化,复相似于对角矩阵,对角元都是k次单位根。

第二,对于由单位根组成的对角矩阵,实数只能是+1,-1,不用处理。虚数成对共轭出现,把两个共轭的虚根替换为

一个特征值是这两个虚根的实二阶正交矩阵。这样就得到了正交矩阵了。

第三,不加证明地利用以下原理就可以了。两个复相似的实矩阵必然实相似。


发表于 2021-10-16 15:52:36 | 显示全部楼层
以一对共轭虚数$\cos \theta \pm i\sin \theta$为特征值的正交矩阵为$\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
发表于 2021-10-16 15:57:57 | 显示全部楼层
有一个有意思的方法,可以叫平均法。就是任意给定一个内积$(\cdot,\cdot)_1$,定义一个新内积为
$(X,X)_2=(X,X)_1+(AX,AX)_1+\cdots+(A^{k-1}X,A^{k-1}X)$,
关于这个新内积,$A$是正交变换。所以相似于正交矩阵。
发表于 2021-11-15 09:05:19 | 显示全部楼层
周不通 发表于 2021-10-16 15:57
有一个有意思的方法,可以叫平均法。就是任意给定一个内积(\cdot,\cdot)_1,定义一个新内积为
(X,X)_2=( ...

把这里的想法使用纯粹矩阵语言描述出来,就是一个简明证明。

问题:设$A$是一个$n$阶方阵,满足$A^k=I$,证明$A$相似于正交矩阵。

证明:令矩阵$B=I+A^TA+(A^T)^2A^2+\cdots+(A^T)^{k-1}A^{k-1},$

则有 $A^TBA=B$,$B$正定。设$B=P^2,P$对称正定。则有

$A^TPPA=PP$,所以 $P^{-1}A^TP PAP^{-1}=I$,

所以$PAP^{-1}$是正交矩阵,$A$相似于正交矩阵。 $\square$

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