博士家园

发表于 2019-6-8 07:50:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
题目C-18-399-7,表示第18章399页第七题,问了好多人都说麻烦,最后还是科大一今年毕业的同学给我了一个思路,该同学写的简明扼要,我开始不太明白,又不好意思再问,就认真算了下,踏实地把过程写下来,没想到敲出来已经半夜三点了,哎,喝了几杯茶,就听见鸟叫到天亮。不扯了,希望各位老铁可以修正一下。

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发表于 2019-6-8 16:24:24 | 显示全部楼层
还是不要贴 pdf, 直接贴代码到论坛.

先处理特殊情况:
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(1+x^2)^{\alpha}}\mathrm{d}x =\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\alpha -\frac{1}{2}\right)}{\Gamma (\alpha )}$$

然后再化为这种特殊情形.

更一般高维的情形也是对的. 即可以考虑计算$\mathbb{R^{n}}$ 的情形。

$$\int_{\mathbb{R^{n}}}\frac{1}{(1+\|x\|^2)^{\alpha}}\mathrm{d}x$$
发表于 2019-6-8 19:21:17 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2019-6-8 16:24
还是不要贴 pdf, 直接贴代码到论坛.

先处理特殊情况:

用球坐标变换。
稍微一般的结果也容易求
$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{1}{(1+|x|^{2})^{\alpha}}\,dx$$
等于
$$n\omega_{n}\int_{0}^{+\infty}\frac{r^{n-1}}{(1+r^{2})^{\alpha}}\,dr$$
其中 $\omega_{n}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$,那个无穷积分等于
$$\frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(\alpha-\frac{n}{2})}{2\Gamma(\alpha)}$$

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