博士家园

发表于 2019-6-1 21:59:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
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1.$ p$为何值时,级数 :

$$ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\sin n}{n^p+\sin n} $$

绝对收敛,条件收敛,发散。(自己已证出$p>1$时绝对收敛,$p<=0$时发散,但是当$0<p<=1$时不知该怎么证明其条件收敛)。

2. 判断下列级数的收敛性:

$$ \sqrt{2} +\sqrt{2-\sqrt{2} }+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2} } }+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } } }+\cdot \cdot \cdot $$

(自己数值计算过结果,应该是收敛的,但是不知道怎么去证明)。

3. 证明级数:

$$\sum_{n=1}^{\infty} x^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n} } $$

当$0<x<1/e$时收敛。

谢谢大家了!

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第一题: 通项用\frac{\sin n}{n^p}去减即豁然开朗。 第二题: 注意通项可写成2\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}. 第三题: 注意 \[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\ln n+\gamma +o(1)(n\to \infty),\] 其中\gamma>0是Euler常数.

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发表于 2019-6-1 21:59:22 | 显示全部楼层
第一题:  通项用$\frac{\sin n}{n^p}$去减即豁然开朗。

第二题: 注意通项可写成$2\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}$.

第三题: 注意
\[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\ln n+\gamma +o(1)(n\to \infty),\]
其中$\gamma>0$是Euler常数.
 楼主| 发表于 2019-6-3 17:45:24 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2019-6-2 15:50
第一题:  通项用\frac{\sin n}{n^p}去减即豁然开朗。

第二题: 注意通项可写成2\sin\frac{\pi}{2^{n+1 ...

您好,十分感谢您的回答,但是关于第一题和第三题还是不太清楚具体该怎么做,您可否说一下具体的步骤?麻烦了!
发表于 2019-6-5 06:18:26 | 显示全部楼层
1.  设$p>0$,讨论级数
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^p+\sin n}\]
的收敛性.


注意到, 对任何$p>0$, 级数
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^p}\]
恒收敛, 故
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^p+\sin n}\]
收敛与 \[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin ^2n}{n^p(n^p+\sin n)}\]
收敛等价. 由于
\[\frac{\sin ^2n}{n^p(n^p+\sin n)}\sim\frac{\sin^2n}{n^{2p}}(n\to \infty),\]
易知\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin^2n}{n^{2p}}\]
收敛等价于$p>\frac{1}{2}$, 从而
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^p+\sin n}\]
收敛等价于$p>\frac{1}{2}$.

2. 设$0<x<\frac{1}{e}$, 证明
\[\sum_{n=1}^n x^{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}\]
收敛.


注意到
\[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}= \ln n+\gamma +o(1)(n\to\infty),\]
得到
\[x^{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}=x^\gamma x^{\ln n}x^{o(1)}\sim \frac{ x^\gamma}{n^{-\ln x}}(n\to\infty).\]
$0<x<\frac{1}{e}$时$-\ln x>1$, 故此时
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^\gamma}{n^{-\ln x}}\]收敛, 因此
\[\sum_{n=1}^n x^{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}\]
收敛.


 楼主| 发表于 2019-6-5 16:14:30 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2019-6-5 06:18
1.  设p>0,讨论级数
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^p+\sin n}\]
的收敛性.


您好,十分感谢您,关于第一题还有一些疑问,不知您可否愿意指教:
1. 您提到
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{p}+\sin n }  $$
的收敛性与
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^{2} n}{n^{p}(n^{p}+\sin n) }  $$
收敛性等价,而
$\frac{\sin^{2} n}{n^{p}(n^{p}+\sin n) } \sim \frac{\sin^{2} n}{n^{2p}} (n \rightarrow \infty) $
那为什么不能直接考虑对原级数通项也做类似近似呢?即
$\frac{\sin n}{n^{p}+\sin n } \sim \frac{\sin n}{n^{p}} (n \rightarrow \infty)$

2. 如果您结论是对的,那么当$0<p<=1/2$时,怎么证明原级数是发散的呢?
 楼主| 发表于 2019-6-6 10:46:19 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2019-6-5 06:18
1.  设p>0,讨论级数
\[\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n^p+\sin n}\]
的收敛性.


您好,能否请问第一题中为什么不能直接对原级数通项也做类似的近似,即:
$\frac{\sin n}{n^p+\sin n} \sim \frac{\sin n}{n^p} (n \rightarrow \infty) $

另外如果您的结论是对的,即$1/2<p<1$时才收敛,那么怎么证明:
1.$1/2<p<1$时是否绝对收敛?
2.$0<p<1/2$时发散?
发表于 2019-6-6 16:00:18 | 显示全部楼层
变号级数不能用等价式. 如
\[\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}(n\to\infty),\]
然而
\[\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)\]
发散,
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\]
收敛.

$0<p\leqslant \frac{1}{2}$是发散的情形, 建议你自己研究.
发表于 2019-6-8 01:22:21 来自手机 | 显示全部楼层
今心不变 发表于 2019-6-5 16:14
您好,十分感谢您,关于第一题还有一些疑问,不知您可否愿意指教:
1. 您提到
\sum_{n=1}^{\infty} \fr ...

非定号级数不能用等价无穷小的比较判别法.

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