博士家园

查看: 564|回复: 1

[数学分析] 数学分析级数一题

[复制链接]
发表于 2019-5-18 09:44:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
已知$f:[1,+\infty ]\longrightarrow [e,+\infty ] $  严格单调递增,且$$\int_1^\infty\frac{1}{f(x)} dx $$发散,求证:$$\int_1^\infty \frac{1}{x\ln f(x)} dx $$发散。
感觉是一道错题,为何搞出去考题呢?如何改进一下题目?

本帖被以下淘专辑推荐:

发表于 2019-6-2 05:48:06 | 显示全部楼层
首先,这不是一个级数问题。

其次,不是错题。

再其次,区间写法有误。

再再其次,用反证法可以证明。


如果$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x\ln f(x)}$收敛,则
\[\int_0^{+\infty}\frac{du}{\ln f(e^u)}=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\ln f(x)}<+\infty.\]
因此$x$充分大时, 必有
\[\frac{x}{2\ln f(e^x)}<\int_{\frac{x}{2}}^x\frac{du}{\ln
f(e^u)}<\frac{1}{4}.\] 故$x$充分大时有
\[f(e^x)>e^{2x},\]
因而$x$充分大时$\frac{1}{f(x)}<\frac{1}{x^2}$.  因此$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{f(x)}$收敛. 矛盾.

关于我们|手机版|博士家园 ( 沪ICP备15045866号 )(沪公网安备沪公网安备 31011702001868号) 

GMT+8, 2019-11-21 19:01 , Processed in 1.265625 second(s), 18 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2004-2019 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表