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[数学分析] 如何计算如下多重积分?

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发表于 2019-3-25 01:41:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
        我先后试着用几种方法计算:
$$\displaystyle\int_{\mathbb{R}_y^3}\int_{\mathbb{S}^2}e^{-\frac{1}{2}|x-[(x-y)\cdot\omega]\omega|^2}d\omega dy$$
.首先我使用球坐标变换去计算里面的球面积分,结果被积函数形如:
$$e^{-\big(k_1(\varphi)\sin^2\theta+k_2(\varphi)\cos^2\theta+k_3(\varphi)\sin\theta\cos\theta\big)}\sin\theta .$$
这使我无法进行更深入的计算.然后我试着用各种变量替换去计算,但是还是得不到结果,我甚至使用Maple计算,但是似乎它进入了一个死循环,计算了2个小时还是没有结果.
        我的初衷是想要证明
$$\displaystyle e^{-\frac{1}{2}|x|^2}\int_{\mathbb{R}_y^3}\int_{\mathbb{S}^2}e^{-\frac{1}{2}|x-[(x-y)\cdot\omega]\omega|^2}d\omega dy$$

是有界的,我们这里不考虑$x=(0,0,0)$的情况. 如果您能给出一个确切的结果,我将不胜感激~~

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